Номер 1.42, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.42, страница 17.
№1.42 (с. 17)
Условие. №1.42 (с. 17)
скриншот условия

1.42 Докажите, что функция $y = x^2 - 2x$ на промежутке:
а) $[1;+\infty)$ возрастает;
б) $(-\infty; 1]$ убывает.
Решение 1. №1.42 (с. 17)


Решение 4. №1.42 (с. 17)
Для доказательства воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Функция называется убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.
Для анализа характера монотонности функции $y = x^2 - 2x$ исследуем знак разности $y(x_2) - y(x_1)$.
$y(x_2) - y(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = x_2^2 - x_1^2 - 2x_2 + 2x_1$
Преобразуем выражение, сгруппировав слагаемые и разложив на множители:
$(x_2^2 - x_1^2) - (2x_2 - 2x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$
Теперь исследуем знак этого выражения на заданных промежутках.
а)Докажем, что функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.
Из принадлежности точек промежутку $[1; +\infty)$ следует, что $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$.
Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:
1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.
2. Оценим второй множитель: так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, то их сумма $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ также положительна.
Произведение двух положительных выражений является положительным числом:
$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) > 0$
Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.
Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
Ответ: Утверждение доказано.
б)Докажем, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.
Из принадлежности точек промежутку $(-\infty; 1]$ следует, что $x_2 \le 1$ и $x_1 < 1$.
Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:
1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.
2. Оценим второй множитель: так как $x_1 < 1$ и $x_2 \le 1$, то их сумма $x_1 + x_2 < 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ отрицательна.
Произведение положительного и отрицательного выражений является отрицательным числом:
$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) < 0$
Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.
Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.42 расположенного на странице 17 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.42 (с. 17), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.