Номер 1.42, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.42, страница 17.

Условие.

1.42 Докажите, что функция $y = x^2 - 2x$ на промежутке:

а) $[1;+\infty)$ возрастает;

б) $(-\infty; 1]$ убывает.

Решение 1.

Решение 4.

Для доказательства воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции. Функция $y=f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$. Функция называется убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $f(x_2) < f(x_1)$.

Для анализа характера монотонности функции $y = x^2 - 2x$ исследуем знак разности $y(x_2) - y(x_1)$.

$y(x_2) - y(x_1) = (x_2^2 - 2x_2) - (x_1^2 - 2x_1) = x_2^2 - x_1^2 - 2x_2 + 2x_1$

Преобразуем выражение, сгруппировав слагаемые и разложив на множители:

$(x_2^2 - x_1^2) - (2x_2 - 2x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$

Теперь исследуем знак этого выражения на заданных промежутках.

а)

Докажем, что функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Из принадлежности точек промежутку $[1; +\infty)$ следует, что $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$.

Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.

2. Оценим второй множитель: так как $x_1 \ge 1$ и $x_2 > 1$, то их сумма $x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ также положительна.

Произведение двух положительных выражений является положительным числом:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) > 0$

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) > 0$, что равносильно $y(x_2) > y(x_1)$.

Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка так, чтобы выполнялось условие $x_2 > x_1$.

Из принадлежности точек промежутку $(-\infty; 1]$ следует, что $x_2 \le 1$ и $x_1 < 1$.

Оценим знак каждого множителя в выражении $(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2)$:

1. Множитель $(x_2 - x_1)$ всегда положителен, так как по нашему выбору $x_2 > x_1$.

2. Оценим второй множитель: так как $x_1 < 1$ и $x_2 \le 1$, то их сумма $x_1 + x_2 < 1 + 1 = 2$. Следовательно, разность $(x_2 + x_1 - 2)$ отрицательна.

Произведение положительного и отрицательного выражений является отрицательным числом:

$(x_2 - x_1)(x_2 + x_1 - 2) < 0$

Таким образом, мы получили, что $y(x_2) - y(x_1) < 0$, что равносильно $y(x_2) < y(x_1)$.

Согласно определению, это доказывает, что функция $y = x^2 - 2x$ убывает на промежутке $(-\infty; 1]$.

Ответ: Утверждение доказано.