Номер 1.46, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.46, страница 18.

№1.46 (с. 18)
Условие. №1.46 (с. 18)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 18, номер 1.46, Условие

1.46 Докажите, что функция:

a) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

б) $y = \pi^x$;

в) $y = \sqrt{x}$;

г) $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$

строго монотонна на полной области определения.

Решение 1. №1.46 (с. 18)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 18, номер 1.46, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 18, номер 1.46, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 18, номер 1.46, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 18, номер 1.46, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 4. №1.46 (с. 18)

Чтобы доказать, что функция строго монотонна на своей полной области определения, мы можем исследовать знак её первой производной. Если производная сохраняет знак (всегда положительна или всегда отрицательна) на всей области определения, то функция является строго монотонной.

а)

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}}x$.

Область определения логарифмической функции — это все положительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции. Используем формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

В нашем случае основание $a = \frac{1}{2}$.

$y' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{x (0 - \ln 2)} = -\frac{1}{x \ln 2}$.

На всей области определения $x > 0$. Константа $\ln 2$ также положительна ($\ln 2 \approx 0.693 > 0$).

Следовательно, знаменатель $x \ln 2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Тогда вся дробь $y' = -\frac{1}{x \ln 2}$ всегда отрицательна.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим функцию $y = \pi^x$.

Это показательная функция, ее область определения — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную, используя формулу $(a^x)' = a^x \ln a$.

В нашем случае основание $a = \pi$.

$y' = \pi^x \ln \pi$.

Выражение $\pi^x$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Число $\pi \approx 3.14159$, что больше 1, поэтому его натуральный логарифм $\ln \pi$ положителен.

Произведение двух положительных величин ($\pi^x$ и $\ln \pi$) всегда положительно, то есть $y' > 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) > 0$ на всей области определения, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \pi^x$ строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$, что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные действительные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{\frac{1}{2}}$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на всей своей области определения $[0, +\infty)$ и ее производная положительна на интервале $(0, +\infty)$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что функция строго возрастает на всей области определения.

Таким образом, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \sqrt{x}$ строго возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим функцию $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$.

Это степенная функция. Поскольку показатель степени $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательным, область определения функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = -\frac{\pi}{2} x^{-\frac{\pi}{2} - 1} = -\frac{\pi}{2} x^{-(\frac{\pi}{2} + 1)} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$.

На всей области определения $x > 0$.

Множитель $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательной константой.

Показатель степени $\frac{\pi}{2} + 1$ положителен. Следовательно, для любого $x > 0$ выражение $x^{\frac{\pi}{2} + 1}$ также будет положительным.

Таким образом, производная $y'$ является произведением отрицательного числа ($-\frac{\pi}{2}$) и положительного числа ($\frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$), а значит, $y' < 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.46 расположенного на странице 18 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.46 (с. 18), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.