Номер 1.46, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.46, страница 18.

Условие.

1.46 Докажите, что функция:

a) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$;

б) $y = \pi^x$;

в) $y = \sqrt{x}$;

г) $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$

строго монотонна на полной области определения.

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы доказать, что функция строго монотонна на своей полной области определения, мы можем исследовать знак её первой производной. Если производная сохраняет знак (всегда положительна или всегда отрицательна) на всей области определения, то функция является строго монотонной.

а)

Рассмотрим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}}x$.

Область определения логарифмической функции — это все положительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции. Используем формулу производной логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

В нашем случае основание $a = \frac{1}{2}$.

$y' = \frac{1}{x \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{x (\ln 1 - \ln 2)} = \frac{1}{x (0 - \ln 2)} = -\frac{1}{x \ln 2}$.

На всей области определения $x > 0$. Константа $\ln 2$ также положительна ($\ln 2 \approx 0.693 > 0$).

Следовательно, знаменатель $x \ln 2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения. Тогда вся дробь $y' = -\frac{1}{x \ln 2}$ всегда отрицательна.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}x$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

б)

Рассмотрим функцию $y = \pi^x$.

Это показательная функция, ее область определения — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную, используя формулу $(a^x)' = a^x \ln a$.

В нашем случае основание $a = \pi$.

$y' = \pi^x \ln \pi$.

Выражение $\pi^x$ всегда положительно для любого действительного $x$.

Число $\pi \approx 3.14159$, что больше 1, поэтому его натуральный логарифм $\ln \pi$ положителен.

Произведение двух положительных величин ($\pi^x$ и $\ln \pi$) всегда положительно, то есть $y' > 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) > 0$ на всей области определения, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \pi^x$ строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$, что и требовалось доказать.

в)

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.

Область определения этой функции — все неотрицательные действительные числа, то есть $x \in [0, +\infty)$.

Представим функцию в виде степенной: $y = x^{\frac{1}{2}}$. Найдем ее производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Производная определена для $x > 0$. На этом интервале знаменатель $2\sqrt{x}$ всегда положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на всей своей области определения $[0, +\infty)$ и ее производная положительна на интервале $(0, +\infty)$. Этого достаточно, чтобы утверждать, что функция строго возрастает на всей области определения.

Таким образом, функция является строго возрастающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = \sqrt{x}$ строго возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$, что и требовалось доказать.

г)

Рассмотрим функцию $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$.

Это степенная функция. Поскольку показатель степени $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательным, область определения функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Для доказательства строгой монотонности найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = -\frac{\pi}{2} x^{-\frac{\pi}{2} - 1} = -\frac{\pi}{2} x^{-(\frac{\pi}{2} + 1)} = -\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$.

На всей области определения $x > 0$.

Множитель $-\frac{\pi}{2}$ является отрицательной константой.

Показатель степени $\frac{\pi}{2} + 1$ положителен. Следовательно, для любого $x > 0$ выражение $x^{\frac{\pi}{2} + 1}$ также будет положительным.

Таким образом, производная $y'$ является произведением отрицательного числа ($-\frac{\pi}{2}$) и положительного числа ($\frac{1}{x^{\frac{\pi}{2} + 1}}$), а значит, $y' < 0$ для любого $x$ из области определения.

Поскольку производная функции $y'(x) < 0$ на всей области определения, функция является строго убывающей, а значит, строго монотонной.

Ответ: Функция $y = x^{-\frac{\pi}{2}}$ строго убывает на всей своей области определения $(0, +\infty)$, что и требовалось доказать.