Номер 1.48, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.48, страница 18.

Условие.

1.48 Укажите промежутки монотонности функции:

а) $y = x - [x];$

б) $y = [x] + x;$

в) $y = |x - 4| + |x + 4|;$

г) $y = |x - 8| - |x + 8|;$

д) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1};$ •

е) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = x - [x]$. Эта функция представляет собой дробную часть числа $x$, часто обозначаемую как $\{x\}$. Функция $[x]$ — целая часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Рассмотрим поведение функции на промежутках вида $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). На любом таком промежутке значение $[x]$ постоянно и равно $n$. Таким образом, для $x \in [n, n+1)$ функция принимает вид $y = x - n$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$. Поскольку $k > 0$, функция является строго возрастающей на каждом из этих промежутков. В целых точках $x=n$ функция претерпевает разрывы первого рода (скачки), поэтому нельзя говорить о монотонности на промежутках, включающих целые числа в качестве внутренних точек.

Ответ: функция возрастает на каждом промежутке вида $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $y = [x] + x$. Как и в предыдущем пункте, рассмотрим промежутки $[n, n+1)$, где $n \in \mathbb{Z}$. На таком промежутке $[x] = n$, и функция принимает вид $y = n + x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $k=1$, поэтому она строго возрастает на каждом таком промежутке. Проверим, является ли функция монотонной на всей числовой оси $\mathbb{R}$. Пусть $x_1 < x_2$.
1. Если $[x_1] = [x_2]$, то $y(x_2) - y(x_1) = (x_2 + [x_2]) - (x_1 + [x_1]) = x_2 - x_1 > 0$.
2. Если $[x_1] < [x_2]$, пусть $[x_1] = n_1$ и $[x_2] = n_2$, где $n_1 < n_2$. Тогда $x_1 < n_1+1 \le n_2 \le x_2$. $y(x_1) = x_1 + n_1 < (n_1+1) + n_1 = 2n_1+1$. $y(x_2) = x_2 + n_2 \ge n_2 + n_2 = 2n_2$. Так как $n_1, n_2$ — целые и $n_1 < n_2$, то $n_2 \ge n_1+1$, откуда $2n_2 \ge 2n_1+2$. Следовательно, $y(x_1) < 2n_1+1 < 2n_1+2 \le 2n_2 \le y(x_2)$, что означает $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция строго возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

в) $y = |x - 4| + |x + 4|$. Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=4$ и $x=-4$:
1. При $x \in (-\infty, -4]$, $y = -(x-4) - (x+4) = -2x$. Функция убывает.
2. При $x \in [-4, 4]$, $y = -(x-4) + (x+4) = 8$. Функция постоянна.
3. При $x \in [4, +\infty)$, $y = (x-4) + (x+4) = 2x$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -4]$, постоянна на промежутке $[-4, 4]$, возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

г) $y = |x - 8| - |x + 8|$. Раскроем модули, рассмотрев промежутки, определяемые точками $x=8$ и $x=-8$:
1. При $x \in (-\infty, -8]$, $y = -(x-8) - (-(x+8)) = 16$. Функция постоянна.
2. При $x \in [-8, 8]$, $y = -(x-8) - (x+8) = -2x$. Функция убывает.
3. При $x \in [8, +\infty)$, $y = (x-8) - (x+8) = -16$. Функция постоянна.

Ответ: функция постоянна на промежутке $(-\infty, -8]$, убывает на промежутке $[-8, 8]$ и постоянна на промежутке $[8, +\infty)$.

д) $y = \sqrt{x^2+2x+1} + \sqrt{x^2-2x+1}$. Упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения и свойство $\sqrt{a^2}=|a|$: $y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-1)^2} = |x+1| + |x-1|$. Задача сводится к исследованию функции, аналогичной пункту (в). Критические точки $x=1$ и $x=-1$.
1. При $x \in (-\infty, -1]$, $y = -(x+1) - (x-1) = -2x$. Функция убывает.
2. При $x \in [-1, 1]$, $y = (x+1) - (x-1) = 2$. Функция постоянна.
3. При $x \in [1, +\infty)$, $y = (x+1) + (x-1) = 2x$. Функция возрастает.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, -1]$, постоянна на промежутке $[-1, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.

е) $y = \sqrt{x^2+6x+9} - \sqrt{x^2-6x+9}$. Упростим выражение: $y = \sqrt{(x+3)^2} - \sqrt{(x-3)^2} = |x+3| - |x-3|$. Задача сводится к исследованию функции, аналогичной пункту (г). Критические точки $x=3$ и $x=-3$.
1. При $x \in (-\infty, -3]$, $y = -(x+3) - (-(x-3)) = -6$. Функция постоянна.
2. При $x \in [-3, 3]$, $y = (x+3) - (-(x-3)) = 2x$. Функция возрастает.
3. При $x \in [3, +\infty)$, $y = (x+3) - (x-3) = 6$. Функция постоянна.

Ответ: функция постоянна на промежутке $(-\infty, -3]$, возрастает на промежутке $[-3, 3]$ и постоянна на промежутке $[3, +\infty)$.