Номер 1.41, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.41, страница 17.

Условие.

1.41 Докажите, что функция $y = |x|$ на промежутке:

a) $[0; +\infty)$ возрастает;

б) $(-\infty; 0]$ убывает.

Решение 1.

Решение 4.

Для решения этой задачи мы воспользуемся определением возрастающей и убывающей функции, а также определением модуля (абсолютной величины) числа.
Функция $y = f(x)$ называется возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) < f(x_2)$.
Функция $y = f(x)$ называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.
Функция $y = |x|$ по определению модуля равна: $|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

а)

Докажем, что функция $y = |x|$ возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
На этом промежутке $x \ge 0$, поэтому, согласно определению модуля, функция принимает вид $y = x$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ так, чтобы $x_1 < x_2$.
Поскольку $x_1, x_2 \in [0; +\infty)$, имеем $0 \le x_1 < x_2$.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = |x_1| = x_1$
$y_2 = f(x_2) = |x_2| = x_2$
Так как по нашему выбору $x_1 < x_2$, то из этого следует, что $y_1 < y_2$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[0; +\infty)$ выполняется $f(x_1) < f(x_2)$, что по определению означает, что функция является возрастающей на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Докажем, что функция $y = |x|$ убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.
На этом промежутке $x \le 0$, поэтому, согласно определению модуля, функция принимает вид $y = -x$.
Возьмем две произвольные точки $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ так, чтобы $x_1 < x_2$.
Поскольку $x_1, x_2 \in (-\infty; 0]$, имеем $x_1 < x_2 \le 0$.
Найдем значения функции в этих точках:
$y_1 = f(x_1) = |x_1| = -x_1$
$y_2 = f(x_2) = |x_2| = -x_2$
Рассмотрим исходное неравенство $x_1 < x_2$. Умножим обе его части на $-1$. При умножении неравенства на отрицательное число его знак меняется на противоположный:
$-x_1 > -x_2$
Следовательно, $y_1 > y_2$.
Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 0]$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, что по определению означает, что функция является убывающей на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.