Номер 1.35, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.35, страница 14.

Условие.

1.35* а) $y = [\sin x];$

б) $y = \{\sin x\};$

в) $y = [\cos x];$

г) $y = \{\cos x\};$

д) $y = |[\sin x]|;$

е) $y = |\{\sin x\}|;$

ж) $y = |[\cos x]|;$

з) $y = |\{\cos x\}|.$

Решение 1.

Решение 4.

Для решения данных задач необходимо найти область значений (множество всех принимаемых значений) каждой функции. Для этого мы будем использовать свойства тригонометрических функций, а также определения целой части, дробной части и модуля числа.

• Целая часть числа $[a]$ (функция «пол» или «антье») — это наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
• Дробная часть числа $\{a\}$ определяется формулой $\{a\} = a - [a]$. Для любого числа $a$ справедливо неравенство $0 \le \{a\} < 1$.
• Модуль числа $|a|$ — это абсолютное значение числа $a$.
• Область значений функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

а) $y = [\sin x]$

Область значений функции $f(x) = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Нам нужно найти, какие целые значения может принимать выражение $[\sin x]$.

Рассмотрим возможные значения $\sin x$:

1. Если $\sin x = 1$ (например, при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $y = [1] = 1$.
2. Если $0 \le \sin x < 1$ (например, при $x \in [0, \frac{\pi}{2})$), то $y = [\sin x] = 0$.
3. Если $-1 < \sin x < 0$ (например, при $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$), то $y = [\sin x] = -1$.
4. Если $\sin x = -1$ (например, при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $y = [-1] = -1$.

Таким образом, функция $y = [\sin x]$ может принимать только три целочисленных значения: -1, 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{-1, 0, 1\}$.

б) $y = \{\sin x\}$

Дробная часть числа $\{a\}$ определяется как $\{a\} = a - [a]$. По определению, $0 \le \{a\} < 1$.

Рассмотрим значения $y = \{\sin x\} = \sin x - [\sin x]$ в зависимости от значений $[\sin x]$, которые мы определили в пункте а):

1. Если $[\sin x] = 1$, что возможно только при $\sin x = 1$, то $y = \{1\} = 1 - [1] = 0$.
2. Если $[\sin x] = 0$, что возможно при $0 \le \sin x < 1$, то $y = \{\sin x\} = \sin x - 0 = \sin x$. В этом случае значения $y$ покрывают промежуток $[0, 1)$.
3. Если $[\sin x] = -1$, что возможно при $-1 \le \sin x < 0$, то $y = \{\sin x\} = \sin x - (-1) = \sin x + 1$.
   • При $\sin x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$.
   • При $-1 < \sin x < 0$, имеем $0 < \sin x + 1 < 1$, то есть $y \in (0, 1)$.

Объединяя все возможные значения, получаем, что $y$ может быть равен 0 (случаи 1 и 3) и принимать любые значения в интервале $(0, 1)$ (случаи 2 и 3). Таким образом, область значений функции — это полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

в) $y = [\cos x]$

Решение полностью аналогично пункту а), так как область значений функции $y = \cos x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

1. Если $\cos x = 1$, то $y = [1] = 1$.

2. Если $0 \le \cos x < 1$, то $y = [\cos x] = 0$.

3. Если $-1 \le \cos x < 0$, то $y = [\cos x] = -1$.

Следовательно, множество значений функции состоит из трех чисел.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{-1, 0, 1\}$.

г) $y = \{\cos x\}$

Решение полностью аналогично пункту б). Используем определение $\{a\} = a - [a]$ и результаты пункта в).

1. Если $[\cos x] = 1$ (т.е. $\cos x = 1$), то $y = \{1\} = 0$.
2. Если $[\cos x] = 0$ (т.е. $0 \le \cos x < 1$), то $y = \{\cos x\} = \cos x$. Значения $y$ лежат в $[0, 1)$.
3. Если $[\cos x] = -1$ (т.е. $-1 \le \cos x < 0$), то $y = \{\cos x\} = \cos x + 1$. Значения $y$ лежат в $[0, 1)$.

Объединяя все случаи, получаем, что область значений функции — это полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

д) $y = |[\sin x]|$

Из пункта а) мы знаем, что множество значений выражения $[\sin x]$ есть $\{-1, 0, 1\}$.

Теперь применим операцию взятия модуля к каждому из этих значений:

• $|-1| = 1$
• $|0| = 0$
• $|1| = 1$

Таким образом, функция может принимать только два значения: 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{0, 1\}$.

е) $y = |\{\sin x\}|$

Из пункта б) мы знаем, что область значений функции $z = \{\sin x\}$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Это означает, что $0 \le \{\sin x\} < 1$.

Так как все значения выражения $\{\sin x\}$ неотрицательны, то их модуль равен самим этим значениям: $|\{\sin x\}| = \{\sin x\}$.

Следовательно, область значений функции $y = |\{\sin x\}|$ совпадает с областью значений функции $z = \{\sin x\}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

ж) $y = |[\cos x]|$

Из пункта в) мы знаем, что множество значений выражения $[\cos x]$ есть $\{-1, 0, 1\}$.

Применим операцию взятия модуля к этим значениям:

• $|-1| = 1$
• $|0| = 0$
• $|1| = 1$

Таким образом, функция может принимать только два значения: 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{0, 1\}$.

з) $y = |\{\cos x\}|$

Из пункта г) мы знаем, что область значений функции $z = \{\cos x\}$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Это означает, что $0 \le \{\cos x\} < 1$.

Так как все значения выражения $\{\cos x\}$ неотрицательны, их модуль равен им самим: $|\{\cos x\}| = \{\cos x\}$.

Следовательно, область значений функции $y = |\{\cos x\}|$ совпадает с областью значений функции $z = \{\cos x\}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.