Номер 1.30, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.30, страница 13.
№1.30 (с. 13)
Условие. №1.30 (с. 13)
скриншот условия

1.30* Докажите, что если число $T$ есть период функции $f$, то число $mT$, где $m \in N$, также будет периодом этой функции.
Решение 1. №1.30 (с. 13)

Решение 2. №1.30 (с. 13)

Решение 3. №1.30 (с. 13)


Решение 4. №1.30 (с. 13)
По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Важным условием также является то, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, и $x-T \in D(f)$.
Дано:
- Функция $f(x)$.
- $T$ — период функции $f(x)$, то есть $f(x+T) = f(x)$ для любого $x \in D(f)$.
- $m \in N$, где $N$ — множество натуральных чисел ($m = 1, 2, 3, \dots$).
Доказать:
Число $mT$ также является периодом функции $f(x)$, то есть необходимо доказать, что $f(x + mT) = f(x)$.
Доказательство:
Для доказательства воспользуемся методом последовательного применения определения периода.
Рассмотрим значение функции в точке $x + mT$: $f(x + mT)$.
Так как $m$ — натуральное число, мы можем представить $mT$ как сумму $m$ слагаемых, равных $T$: $mT = \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}}$.
Тогда $f(x + mT) = f(x + \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}})$.
Теперь будем последовательно применять свойство периодичности $f(y+T) = f(y)$.
$f(x + mT) = f((x + (m-1)T) + T)$
Поскольку $T$ является периодом, то для аргумента $y = x + (m-1)T$ справедливо равенство $f(y+T) = f(y)$. Отметим, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, $x+2T \in D(f)$ и так далее, до $x+mT \in D(f)$, поэтому все аргументы корректны.
Следовательно, $f((x + (m-1)T) + T) = f(x + (m-1)T)$.
Мы получили, что $f(x + mT) = f(x + (m-1)T)$.
Применяя это рассуждение снова к $f(x + (m-1)T)$, получим:
$f(x + (m-1)T) = f((x + (m-2)T) + T) = f(x + (m-2)T)$.
Продолжая этот процесс $m$ раз, мы построим следующую цепочку равенств:
$f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = f(x + (m-2)T) = \dots = f(x+T)$.
На последнем шаге мы используем исходное условие, что $T$ — период функции $f$:
$f(x+T) = f(x)$.
Таким образом, мы доказали, что $f(x+mT) = f(x)$ для любого натурального $m$. Это означает, что число $mT$ также является периодом функции $f$.
Ответ: Утверждение доказано. Исходя из определения периода $f(x+T)=f(x)$, можно построить цепочку равенств: $f(x + mT) = f(x + (m-1)T + T) = f(x + (m-1)T)$. Повторяя эту операцию $m$ раз, получаем $f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = \dots = f(x+T) = f(x)$. Следовательно, число $mT$ является периодом функции $f$ для любого натурального $m$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.30 расположенного на странице 13 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.30 (с. 13), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.