Номер 1.30, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.30, страница 13.

Условие.

1.30* Докажите, что если число $T$ есть период функции $f$, то число $mT$, где $m \in N$, также будет периодом этой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Важным условием также является то, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, и $x-T \in D(f)$.

Дано:
- Функция $f(x)$.
- $T$ — период функции $f(x)$, то есть $f(x+T) = f(x)$ для любого $x \in D(f)$.
- $m \in N$, где $N$ — множество натуральных чисел ($m = 1, 2, 3, \dots$).

Доказать:
Число $mT$ также является периодом функции $f(x)$, то есть необходимо доказать, что $f(x + mT) = f(x)$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом последовательного применения определения периода.

Рассмотрим значение функции в точке $x + mT$: $f(x + mT)$.
Так как $m$ — натуральное число, мы можем представить $mT$ как сумму $m$ слагаемых, равных $T$: $mT = \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}}$.

Тогда $f(x + mT) = f(x + \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}})$.

Теперь будем последовательно применять свойство периодичности $f(y+T) = f(y)$.

$f(x + mT) = f((x + (m-1)T) + T)$

Поскольку $T$ является периодом, то для аргумента $y = x + (m-1)T$ справедливо равенство $f(y+T) = f(y)$. Отметим, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, $x+2T \in D(f)$ и так далее, до $x+mT \in D(f)$, поэтому все аргументы корректны.

Следовательно, $f((x + (m-1)T) + T) = f(x + (m-1)T)$.

Мы получили, что $f(x + mT) = f(x + (m-1)T)$.

Применяя это рассуждение снова к $f(x + (m-1)T)$, получим:

$f(x + (m-1)T) = f((x + (m-2)T) + T) = f(x + (m-2)T)$.

Продолжая этот процесс $m$ раз, мы построим следующую цепочку равенств:

$f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = f(x + (m-2)T) = \dots = f(x+T)$.

На последнем шаге мы используем исходное условие, что $T$ — период функции $f$:

$f(x+T) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x+mT) = f(x)$ для любого натурального $m$. Это означает, что число $mT$ также является периодом функции $f$.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из определения периода $f(x+T)=f(x)$, можно построить цепочку равенств: $f(x + mT) = f(x + (m-1)T + T) = f(x + (m-1)T)$. Повторяя эту операцию $m$ раз, получаем $f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = \dots = f(x+T) = f(x)$. Следовательно, число $mT$ является периодом функции $f$ для любого натурального $m$.