Номер 1.29, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.29, страница 13.

Условие.

1.29 Приведите пример периодической функции:

а) имеющей главный период $pi$; $2\pi$; 1;

б) не имеющей главного периода.

Решение 1.

Решение 4.

а) имеющей главный период $\pi$; $2\pi$; $1$

Главный (основной) период функции $f(x)$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Для нахождения примеров удобно использовать тригонометрические функции вида $g(x) = \sin(\omega x)$ или $g(x) = \cos(\omega x)$, главный период которых вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.

Для периода $T = \pi$: из формулы $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ следует, что $\pi = \frac{2\pi}{|\omega|}$, откуда $|\omega|=2$. В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \sin(2x)$.

Для периода $T = 2\pi$: из той же формулы следует, что $2\pi = \frac{2\pi}{|\omega|}$, откуда $|\omega|=1$. Классическим примером является функция $f(x) = \sin(x)$.

Для периода $T = 1$: аналогично, из $1 = \frac{2\pi}{|\omega|}$ получаем $|\omega|=2\pi$. Примером может служить функция $f(x) = \cos(2\pi x)$. Другим известным примером является функция дробной части числа, $f(x) = \{x\}$.

Ответ: для периода $\pi$: $f(x) = \sin(2x)$; для периода $2\pi$: $f(x) = \sin(x)$; для периода $1$: $f(x) = \cos(2\pi x)$.

б) не имеющей главного периода

Функция является периодической, если существует такое ненулевое число $T$ (называемое периодом), что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Главный период — это наименьший положительный период. Если среди всех положительных периодов функции нет наименьшего, то функция не имеет главного периода.

Классическим примером такой функции является функция Дирихле, которая определяется следующим образом: $$ D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число } (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} $$

Покажем, что эта функция периодическая. Пусть $T$ — любое ненулевое рациональное число ($T \in \mathbb{Q}, T \neq 0$). Если $x$ — рациональное число, то и сумма $x+T$ рациональна, поэтому $D(x) = 1$ и $D(x+T) = 1$. Если же $x$ — иррациональное число, то и сумма $x+T$ иррациональна, поэтому $D(x) = 0$ и $D(x+T) = 0$. В обоих случаях $D(x+T) = D(x)$, следовательно, любое ненулевое рациональное число является периодом функции Дирихле.

У этой функции нет главного периода, так как множество ее положительных периодов — это множество всех положительных рациональных чисел $\mathbb{Q}^+$. В этом множестве нет наименьшего элемента: для любого положительного рационального числа $r$ всегда можно найти меньшее, например, $r/2$. Поскольку наименьшего положительного периода не существует, функция Дирихле не имеет главного периода.

Другим примером является любая ненулевая постоянная функция, например $f(x) = c$. Для нее периодом является любое действительное число $T \neq 0$. Множество положительных периодов ($\mathbb{R}^+$) также не имеет наименьшего элемента.

Ответ: Функция Дирихле $D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text{если } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.