Номер 1.24, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.24, страница 12.

Условие.

1.24 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве $X$ и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ справедливо, что $(-x) \in X$. Требуется доказать, что функцию $f(x)$ можно представить в виде суммы двух функций, $g(x)$ и $h(x)$, определенных на том же множестве $X$, где $g(x)$ — чётная, а $h(x)$ — нечётная.

Предположим, что такое представление существует: $f(x) = g(x) + h(x)$

По определению чётной и нечётной функций:

• $g(x)$ является чётной, если $g(-x) = g(x)$ для всех $x \in X$.
• $h(x)$ является нечётной, если $h(-x) = -h(x)$ для всех $x \in X$.

Рассмотрим значение исходной функции в точке $-x$. Так как $x \in X$, то и $-x \in X$, и мы можем написать: $f(-x) = g(-x) + h(-x)$

Применяя свойства чётности и нечётности для $g(x)$ и $h(x)$, получаем: $f(-x) = g(x) - h(x)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно функций $g(x)$ и $h(x)$: $$ \begin{cases} g(x) + h(x) = f(x) \\ g(x) - h(x) = f(-x) \end{cases} $$

Решим эту систему. Сложив первое и второе уравнения, получим: $(g(x) + h(x)) + (g(x) - h(x)) = f(x) + f(-x)$ $2g(x) = f(x) + f(-x)$ $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $(g(x) + h(x)) - (g(x) - h(x)) = f(x) - f(-x)$ $2h(x) = f(x) - f(-x)$ $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Мы нашли явный вид для функций $g(x)$ и $h(x)$. Теперь необходимо проверить, что они действительно являются чётной и нечётной, определены на множестве $X$ и их сумма равна $f(x)$.

Проверка свойств найденных функций

1. Определенность на X. Поскольку $f(x)$ определена на $X$ и для любого $x \in X$ также $(-x) \in X$, то $f(-x)$ тоже определена. Следовательно, комбинации $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ определены для всех $x \in X$.

2. Чётность функции $g(x)$. Проверим выполнение равенства $g(-x) = g(x)$: $g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$. Условие выполняется, значит $g(x)$ — чётная функция.

3. Нечётность функции $h(x)$. Проверим выполнение равенства $h(-x) = -h(x)$: $h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x)$. Условие выполняется, значит $h(x)$ — нечётная функция.

4. Проверка суммы. Убедимся, что $g(x) + h(x) = f(x)$: $g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$. Равенство верно.

Таким образом, мы доказали, что любую функцию, определённую на симметричном относительно нуля множестве, можно представить как сумму чётной и нечётной функций.

Ответ: Да, такую функцию можно представить в виде суммы двух функций. Чётная составляющая этой функции будет $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$, а нечётная составляющая — $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.