Номер 1.24, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.24, страница 12.
№1.24 (с. 12)
Условие. №1.24 (с. 12)
скриншот условия

1.24 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве $X$ и одна из которых чётная, а другая нечётная.
Решение 1. №1.24 (с. 12)

Решение 2. №1.24 (с. 12)

Решение 3. №1.24 (с. 12)

Решение 4. №1.24 (с. 12)
Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ справедливо, что $(-x) \in X$. Требуется доказать, что функцию $f(x)$ можно представить в виде суммы двух функций, $g(x)$ и $h(x)$, определенных на том же множестве $X$, где $g(x)$ — чётная, а $h(x)$ — нечётная.
Предположим, что такое представление существует: $f(x) = g(x) + h(x)$
По определению чётной и нечётной функций:
- $g(x)$ является чётной, если $g(-x) = g(x)$ для всех $x \in X$.
- $h(x)$ является нечётной, если $h(-x) = -h(x)$ для всех $x \in X$.
Рассмотрим значение исходной функции в точке $-x$. Так как $x \in X$, то и $-x \in X$, и мы можем написать: $f(-x) = g(-x) + h(-x)$
Применяя свойства чётности и нечётности для $g(x)$ и $h(x)$, получаем: $f(-x) = g(x) - h(x)$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно функций $g(x)$ и $h(x)$: $$ \begin{cases} g(x) + h(x) = f(x) \\ g(x) - h(x) = f(-x) \end{cases} $$
Решим эту систему. Сложив первое и второе уравнения, получим: $(g(x) + h(x)) + (g(x) - h(x)) = f(x) + f(-x)$ $2g(x) = f(x) + f(-x)$ $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
Теперь вычтем второе уравнение из первого: $(g(x) + h(x)) - (g(x) - h(x)) = f(x) - f(-x)$ $2h(x) = f(x) - f(-x)$ $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
Мы нашли явный вид для функций $g(x)$ и $h(x)$. Теперь необходимо проверить, что они действительно являются чётной и нечётной, определены на множестве $X$ и их сумма равна $f(x)$.
Проверка свойств найденных функций
1. Определенность на X. Поскольку $f(x)$ определена на $X$ и для любого $x \in X$ также $(-x) \in X$, то $f(-x)$ тоже определена. Следовательно, комбинации $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ определены для всех $x \in X$.
2. Чётность функции $g(x)$. Проверим выполнение равенства $g(-x) = g(x)$: $g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$. Условие выполняется, значит $g(x)$ — чётная функция.
3. Нечётность функции $h(x)$. Проверим выполнение равенства $h(-x) = -h(x)$: $h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x)$. Условие выполняется, значит $h(x)$ — нечётная функция.
4. Проверка суммы. Убедимся, что $g(x) + h(x) = f(x)$: $g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$. Равенство верно.
Таким образом, мы доказали, что любую функцию, определённую на симметричном относительно нуля множестве, можно представить как сумму чётной и нечётной функций.
Ответ: Да, такую функцию можно представить в виде суммы двух функций. Чётная составляющая этой функции будет $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$, а нечётная составляющая — $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.24 расположенного на странице 12 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.24 (с. 12), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.