Номер 1.17, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.17, страница 11.

Условие.

1.17 Докажите нечётность функции:

а) $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$;

б) $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$.

Решение 1.

Решение 4.

Для доказательства нечётности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^5 - 5x - 4 \sin x$.

1. Найдём область определения функции. Все слагаемые ($x^5$, $5x$ и $4 \sin x$) определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \in \mathbb{R}$, то и $-x \in \mathbb{R}$.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в уравнение функции:
$f(-x) = (-x)^5 - 5(-x) - 4 \sin(-x)$

Используем свойства нечётных степеней и нечётности функции синус: $(-a)^n = -a^n$ для нечётного $n$, и $\sin(-x) = -\sin x$.
$f(-x) = -x^5 + 5x - 4(-\sin x) = -x^5 + 5x + 4 \sin x$

Теперь вынесем знак минус за скобки, чтобы сравнить с исходной функцией:
$f(-x) = -(x^5 - 5x - 4 \sin x)$

Выражение в скобках в точности совпадает с исходной функцией $f(x)$. Таким образом, мы получили:
$f(-x) = -f(x)$

Оба условия нечётности функции выполнены.
Ответ: Функция $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$ является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$

Обозначим функцию как $f(x) = 4x^7 - 5x^3 - 5x$.

1. Найдём область определения функции. Данная функция является многочленом, а многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^7 - 5(-x)^3 - 5(-x)$

Используем свойство нечётной степени: $(-a)^n = -a^n$ для нечётного $n$.
$f(-x) = 4(-x^7) - 5(-x^3) + 5x = -4x^7 + 5x^3 + 5x$

Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(4x^7 - 5x^3 - 5x)$

Выражение в скобках равно исходной функции $f(x)$. Таким образом, мы получили:
$f(-x) = -f(x)$

Оба условия нечётности функции выполнены.
Ответ: Функция $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$ является нечётной, что и требовалось доказать.