Номер 1.14, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.14, страница 8.

Условие.

1.14 Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:

а) $y = \sqrt{x-1}$;

б) $y = \sqrt{x^2-1}$;

в) $y = x^3$;

г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;

е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$?

Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \sqrt{x-1}$

Область определения функции задается условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем возможном значении аргумента $x$, то есть при $x=1$. $y_{наим} = \sqrt{1-1} = 0$. Поскольку $x$ может неограниченно возрастать, функция может принимать сколь угодно большие значения ($y \to \infty$ при $x \to \infty$). Таким образом, наибольшего значения у функции нет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точке $x=1$; наибольшего значения не имеет.

б) $y = \sqrt{x^2-1}$

Область определения функции: $x^2-1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Выражение под корнем $x^2-1$ принимает наименьшее значение, равное $0$, при $x^2=1$, то есть в точках $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$ и достигается в точках $x=1$ и $x=-1$. При $|x| \to \infty$, значение $x^2-1 \to \infty$, и, следовательно, $y \to \infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точках $x=1$ и $x=-1$; наибольшего значения не имеет.

в) $y = x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений функции также все действительные числа, $y \in (-\infty, +\infty)$. Функция неограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ: функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$

Область определения функции задается условием $\sin x \ge 0$, что выполняется при $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этой области $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Тогда показатель степени $\sqrt{\sin x}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^u$ является возрастающей. Наименьшее значение функция принимает, когда показатель степени минимален: $\sqrt{\sin x} = 0 \implies \sin x = 0$. Это происходит в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение: $y_{наим} = 2^0 = 1$. Наибольшее значение функция принимает, когда показатель степени максимален: $\sqrt{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = 2^1 = 2$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 2$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции задается условием $1-x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies x \in (-1, 1)$. Рассмотрим знаменатель $\sqrt{1-x^2}$. В области определения $x \in (-1, 1)$ выражение $1-x^2$ принимает значения из полуинтервала $(0, 1]$. Знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ также принимает значения из $(0, 1]$. Функция $y=\frac{1}{u}$ убывает при $u > 0$. Следовательно, наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении знаменателя. Наибольшее значение знаменателя равно $\sqrt{1-0^2} = 1$ и достигается при $x=0$. $y_{наим} = \frac{1}{1} = 1$. Когда $x$ стремится к $1$ или $-1$, знаменатель стремится к $0^+$, а функция $y$ стремится к $+\infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точке $x=0$; наибольшего значения не имеет.

е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как кубический корень определен для любого действительного числа, а $\sin x$ определен для всех $x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, свои наибольшее и наименьшее значения она будет принимать в тех же точках, что и подкоренное выражение $\sin x$. Наименьшее значение: $\sin x = -1$, что происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наим} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Наибольшее значение: $\sin x = 1$, что происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наиб} = \sqrt[3]{1} = 1$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = -1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.