Номер 1.14, страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.14, страница 8.
№1.14 (с. 8)
Условие. №1.14 (с. 8)
скриншот условия

1.14 Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:
а) $y = \sqrt{x-1}$;
б) $y = \sqrt{x^2-1}$;
в) $y = x^3$;
г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;
д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;
е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$?
Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.
Решение 1. №1.14 (с. 8)






Решение 2. №1.14 (с. 8)

Решение 3. №1.14 (с. 8)

Решение 4. №1.14 (с. 8)
а) $y = \sqrt{x-1}$
Область определения функции задается условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем возможном значении аргумента $x$, то есть при $x=1$. $y_{наим} = \sqrt{1-1} = 0$. Поскольку $x$ может неограниченно возрастать, функция может принимать сколь угодно большие значения ($y \to \infty$ при $x \to \infty$). Таким образом, наибольшего значения у функции нет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точке $x=1$; наибольшего значения не имеет.
б) $y = \sqrt{x^2-1}$
Область определения функции: $x^2-1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Выражение под корнем $x^2-1$ принимает наименьшее значение, равное $0$, при $x^2=1$, то есть в точках $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$ и достигается в точках $x=1$ и $x=-1$. При $|x| \to \infty$, значение $x^2-1 \to \infty$, и, следовательно, $y \to \infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точках $x=1$ и $x=-1$; наибольшего значения не имеет.
в) $y = x^3$
Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений функции также все действительные числа, $y \in (-\infty, +\infty)$. Функция неограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ: функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.
г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$
Область определения функции задается условием $\sin x \ge 0$, что выполняется при $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этой области $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Тогда показатель степени $\sqrt{\sin x}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^u$ является возрастающей. Наименьшее значение функция принимает, когда показатель степени минимален: $\sqrt{\sin x} = 0 \implies \sin x = 0$. Это происходит в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение: $y_{наим} = 2^0 = 1$. Наибольшее значение функция принимает, когда показатель степени максимален: $\sqrt{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = 2^1 = 2$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 2$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Область определения функции задается условием $1-x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies x \in (-1, 1)$. Рассмотрим знаменатель $\sqrt{1-x^2}$. В области определения $x \in (-1, 1)$ выражение $1-x^2$ принимает значения из полуинтервала $(0, 1]$. Знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ также принимает значения из $(0, 1]$. Функция $y=\frac{1}{u}$ убывает при $u > 0$. Следовательно, наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении знаменателя. Наибольшее значение знаменателя равно $\sqrt{1-0^2} = 1$ и достигается при $x=0$. $y_{наим} = \frac{1}{1} = 1$. Когда $x$ стремится к $1$ или $-1$, знаменатель стремится к $0^+$, а функция $y$ стремится к $+\infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точке $x=0$; наибольшего значения не имеет.
е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$
Область определения функции — все действительные числа, так как кубический корень определен для любого действительного числа, а $\sin x$ определен для всех $x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, свои наибольшее и наименьшее значения она будет принимать в тех же точках, что и подкоренное выражение $\sin x$. Наименьшее значение: $\sin x = -1$, что происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наим} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Наибольшее значение: $\sin x = 1$, что происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наиб} = \sqrt[3]{1} = 1$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = -1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.14 расположенного на странице 8 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.14 (с. 8), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.