Страница 8 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.12 Покажите, что на полной области определения функция:

а) $y = x^2$ не является ограниченной сверху;

б) $y = \frac{1}{x^2}$ не является ограниченной снизу;

в) $y = \log_2 x$ не является ограниченной.

а)

Функция $y = x^2$. Полная область определения этой функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$.

Функция называется ограниченной сверху, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y(x) \le M$.

Чтобы показать, что функция $y=x^2$ не является ограниченной сверху, нужно доказать, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, найдется такое значение аргумента $x$, при котором значение функции будет больше $M$, то есть $x^2 > M$.

Докажем это от противного. Предположим, что функция $y=x^2$ ограничена сверху. Это означает, что существует такое число $M$, что для всех $x \in \mathbb{R}$ выполняется $x^2 \le M$.

Рассмотрим произвольное действительное число $M$.

Если $M \le 0$, мы можем взять, например, $x=1$. Тогда $y(1) = 1^2 = 1 > M$. Неравенство $x^2 \le M$ не выполняется.

Если $M > 0$, выберем значение $x = \sqrt{M} + 1$. Это действительное число, оно входит в область определения. Тогда значение функции в этой точке будет $y = (\sqrt{M} + 1)^2 = M + 2\sqrt{M} + 1$. Поскольку $M > 0$, то $2\sqrt{M} + 1 > 0$, и, следовательно, $M + 2\sqrt{M} + 1 > M$. То есть мы нашли такое значение $x$, что $y(x) > M$.

Таким образом, для любого числа $M$ мы можем найти такое $x$, что $x^2 > M$. Это противоречит предположению о том, что функция ограничена сверху. Следовательно, функция $y=x^2$ не является ограниченной сверху на своей полной области определения.

Ответ: Для любого числа $M$ можно выбрать $x$ (например, $x=\sqrt{|M|}+1$), такое, что $x^2 > M$, что доказывает неограниченность функции сверху.

б)

Функция $y = -\frac{1}{x^2}$. Полная область определения этой функции — все действительные числа, кроме нуля, то есть $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения выполняется неравенство $y(x) \ge m$.

Чтобы показать, что функция $y = -\frac{1}{x^2}$ не является ограниченной снизу, нужно доказать, что для любого, сколь угодно малого (большого по модулю отрицательного) числа $m$, найдется такое значение аргумента $x$, при котором значение функции будет меньше $m$, то есть $-\frac{1}{x^2} < m$.

Пусть $m$ — произвольное число. Если $m \ge 0$, мы можем взять $x=1$, и тогда $y(1) = -1 < m$, неравенство выполняется.

Рассмотрим случай, когда $m < 0$. Нам нужно найти такое $x \ne 0$, чтобы выполнялось неравенство:
$-\frac{1}{x^2} < m$

Умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{1}{x^2} > -m$

Поскольку $m < 0$, то $-m > 0$. Перевернем дроби, снова изменив знак неравенства (это возможно, т.к. обе части положительны):
$x^2 < \frac{1}{-m}$

Так как правая часть $\frac{1}{-m}$ положительна, мы можем выбрать $x$ достаточно близко к нулю, чтобы это неравенство выполнялось. Например, выберем $x$ такое, что $x^2 = \frac{1}{2(-m)}$, то есть $x = \frac{1}{\sqrt{-2m}}$. Такое $x$ существует и не равно нулю, так как $m<0$.

Поскольку $m < 0$, то $-m > 0$ и $2(-m) > -m$. Так как обе части положительны, то $\frac{1}{2(-m)} < \frac{1}{-m}$. Таким образом, $x^2 = \frac{1}{-2m} < \frac{1}{-m}$, что и требовалось.

Следовательно, для любого числа $m$ мы можем найти такое $x \ne 0$, что $-\frac{1}{x^2} < m$. Функция не является ограниченной снизу.

Ответ: Для любого числа $m<0$ можно выбрать $x$ (например, $x = \frac{1}{\sqrt{-2m}}$), такое, что $-\frac{1}{x^2} < m$, что доказывает неограниченность функции снизу.

в)

Функция $y = \log_2 x$. Полная область определения этой функции — все положительные действительные числа, то есть $x \in (0, +\infty)$.

Функция называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Чтобы показать, что функция не является ограниченной, мы докажем, что она не ограничена ни сверху, ни снизу.

1. Неограниченность сверху.
Нужно показать, что для любого числа $M$ существует такое $x > 0$, что $\log_2 x > M$.
По определению логарифма, неравенство $\log_2 x > M$ эквивалентно неравенству $x > 2^M$ (так как основание логарифма $2 > 1$).
Для любого действительного числа $M$ число $2^M$ является положительным. Мы всегда можем выбрать $x$, которое больше $2^M$. Например, возьмем $x = 2^{M+1}$. Это число положительно и входит в область определения.
Тогда $y(x) = \log_2(2^{M+1}) = M+1$. Так как $M+1 > M$, мы нашли $x$, для которого значение функции больше $M$.
Следовательно, функция $y = \log_2 x$ не ограничена сверху.

2. Неограниченность снизу.
Нужно показать, что для любого числа $m$ существует такое $x > 0$, что $\log_2 x < m$.
По определению логарифма, неравенство $\log_2 x < m$ эквивалентно неравенству $x < 2^m$.
Так как нам нужно, чтобы $x$ входил в область определения, мы должны выбрать $x$ из интервала $(0, 2^m)$. Для любого действительного $m$ число $2^m$ положительно, поэтому такой интервал не пуст.
Мы можем выбрать, например, $x = 2^{m-1}$. Это число очевидно находится в интервале $(0, 2^m)$, так как $0 < 2^{m-1} < 2^m$.
Тогда $y(x) = \log_2(2^{m-1}) = m-1$. Так как $m-1 < m$, мы нашли $x$, для которого значение функции меньше $m$.
Следовательно, функция $y = \log_2 x$ не ограничена снизу.

Поскольку функция $y = \log_2 x$ не ограничена ни сверху, ни снизу, она не является ограниченной.

Ответ: Для любого $M$ можно взять $x=2^{M+1}$, тогда $y(x)=M+1>M$ (неограниченность сверху). Для любого $m$ можно взять $x=2^{m-1}$, тогда $y(x)=m-1<m$ (неограниченность снизу). Следовательно, функция не является ограниченной.

1.13 Докажите, что если функция $y = f(x)$, определённая на множестве $X$, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на этом множестве.

Для доказательства нам необходимо воспользоваться определениями функции, ограниченной сверху, снизу, и просто ограниченной функции.

Определение 1. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$.

Определение 2. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Определение 3. Функция $y = f(x)$ называется ограниченной на множестве $X$, если существует такое положительное число $C > 0$, что для любого $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$. Неравенство $|f(x)| \le C$ равносильно двойному неравенству $-C \le f(x) \le C$.

Доказательство.

Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и по условию задачи она ограничена на этом множестве и сверху, и снизу.

Так как функция $f(x)$ ограничена сверху, то по определению 1 существует такое число $M$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство:
$f(x) \le M$

Так как функция $f(x)$ ограничена снизу, то по определению 2 существует такое число $m$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство:
$f(x) \ge m$

Эти два неравенства можно объединить в одно двойное неравенство, которое справедливо для любого $x \in X$:
$m \le f(x) \le M$

Наша цель — доказать, что функция $f(x)$ ограничена. Согласно определению 3, для этого нужно найти такое число $C > 0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.

Рассмотрим модули чисел $m$ и $M$, то есть $|m|$ и $|M|$. Выберем число $C_0$ как наибольшее из этих двух значений:
$C_0 = \max(|m|, |M|)$

Теперь покажем, что это число (или близкое к нему) подходит под определение ограниченной функции.

С одной стороны, для любого $x \in X$:
$f(x) \le M \le |M|$
Так как $|M| \le \max(|m|, |M|)$, то получаем:
$f(x) \le C_0$

С другой стороны, для любого $x \in X$:
$f(x) \ge m \ge -|m|$
Так как $-|m| \ge -\max(|m|, |M|)$, то получаем:
$f(x) \ge -C_0$

Объединив последние два результата, мы получаем, что для любого $x \in X$ выполняется двойное неравенство:
$-C_0 \le f(x) \le C_0$

Это неравенство, как было отмечено в определении 3, эквивалентно неравенству $|f(x)| \le C_0$.

Осталось убедиться, что мы можем выбрать положительное число $C$.

1. Если хотя бы одно из чисел $m$ или $M$ не равно нулю, то $C_0 = \max(|m|, |M|)$ будет строго положительным числом. В этом случае мы можем взять $C = C_0$, и условие $C > 0$ будет выполнено.
2. Если и $m = 0$, и $M = 0$, то это означает, что для всех $x \in X$ выполняется $0 \le f(x) \le 0$, то есть $f(x) \equiv 0$. В этом случае $|f(x)| = 0$. Мы можем выбрать любое положительное число $C$, например, $C=1$. Тогда неравенство $|f(x)| \le C$ примет вид $0 \le 1$, что является верным.

Таким образом, в любом случае мы показали, что существует такое положительное число $C$, что для всех $x \in X$ выполняется $|f(x)| \le C$. Следовательно, по определению 3, функция $f(x)$ является ограниченной на множестве $X$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если функция $f(x)$ ограничена сверху числом $M$ и снизу числом $m$, то для любого $x$ из области определения выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$. Выбрав число $C$ так, чтобы оно было не меньше, чем $\max(|m|, |M|)$ и при этом было положительным (например, $C = \max(|m|, |M|) + 1$), мы получаем, что $-C \le f(x) \le C$ для всех $x \in X$. Это неравенство эквивалентно $|f(x)| \le C$, что по определению означает, что функция $f(x)$ ограничена на множестве $X$.

1.14 Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:

а) $y = \sqrt{x-1}$;

б) $y = \sqrt{x^2-1}$;

в) $y = x^3$;

г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$;

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;

е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$?

Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.

а) $y = \sqrt{x-1}$

Область определения функции задается условием $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции достигается при наименьшем возможном значении аргумента $x$, то есть при $x=1$. $y_{наим} = \sqrt{1-1} = 0$. Поскольку $x$ может неограниченно возрастать, функция может принимать сколь угодно большие значения ($y \to \infty$ при $x \to \infty$). Таким образом, наибольшего значения у функции нет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точке $x=1$; наибольшего значения не имеет.

б) $y = \sqrt{x^2-1}$

Область определения функции: $x^2-1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$. Выражение под корнем $x^2-1$ принимает наименьшее значение, равное $0$, при $x^2=1$, то есть в точках $x=1$ и $x=-1$. Следовательно, наименьшее значение функции $y_{наим} = \sqrt{0} = 0$ и достигается в точках $x=1$ и $x=-1$. При $|x| \to \infty$, значение $x^2-1 \to \infty$, и, следовательно, $y \to \infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 0$ в точках $x=1$ и $x=-1$; наибольшего значения не имеет.

в) $y = x^3$

Область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty, +\infty)$. Область значений функции также все действительные числа, $y \in (-\infty, +\infty)$. Функция неограничена ни сверху, ни снизу.
Ответ: функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

г) $y = 2^{\sqrt{\sin x}}$

Область определения функции задается условием $\sin x \ge 0$, что выполняется при $x \in [2\pi n, \pi + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. В этой области $\sin x$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Тогда показатель степени $\sqrt{\sin x}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y=2^u$ является возрастающей. Наименьшее значение функция принимает, когда показатель степени минимален: $\sqrt{\sin x} = 0 \implies \sin x = 0$. Это происходит в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$. Наименьшее значение: $y_{наим} = 2^0 = 1$. Наибольшее значение функция принимает, когда показатель степени максимален: $\sqrt{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Наибольшее значение: $y_{наиб} = 2^1 = 2$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 2$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Область определения функции задается условием $1-x^2 > 0 \implies x^2 < 1 \implies x \in (-1, 1)$. Рассмотрим знаменатель $\sqrt{1-x^2}$. В области определения $x \in (-1, 1)$ выражение $1-x^2$ принимает значения из полуинтервала $(0, 1]$. Знаменатель $\sqrt{1-x^2}$ также принимает значения из $(0, 1]$. Функция $y=\frac{1}{u}$ убывает при $u > 0$. Следовательно, наименьшее значение $y$ достигается при наибольшем значении знаменателя. Наибольшее значение знаменателя равно $\sqrt{1-0^2} = 1$ и достигается при $x=0$. $y_{наим} = \frac{1}{1} = 1$. Когда $x$ стремится к $1$ или $-1$, знаменатель стремится к $0^+$, а функция $y$ стремится к $+\infty$. Наибольшего значения функция не имеет.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = 1$ в точке $x=0$; наибольшего значения не имеет.

е) $y = \sqrt[3]{\sin x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как кубический корень определен для любого действительного числа, а $\sin x$ определен для всех $x$. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей на всей числовой оси. Следовательно, свои наибольшее и наименьшее значения она будет принимать в тех же точках, что и подкоренное выражение $\sin x$. Наименьшее значение: $\sin x = -1$, что происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наим} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Наибольшее значение: $\sin x = 1$, что происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. $y_{наиб} = \sqrt[3]{1} = 1$.
Ответ: функция имеет наименьшее значение $y_{наим} = -1$ в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$, и наибольшее значение $y_{наиб} = 1$ в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.