Страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

$1.28^\circ$

a) Какую функцию называют периодической?

б) Какое число называют главным периодом периодической функции?

в) Всякая ли периодическая функция имеет главный период?

а) Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняются равенства $f(x + T) = f(x)$ и $f(x - T) = f(x)$. Это означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, который называется периодом. Число $T$ называют периодом функции $f(x)$. Важно отметить, что если $T$ — период, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое, не равное нулю число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является её периодом.
Ответ: Периодической называют функцию $y = f(x)$, для которой существует такое ненулевое число $T$ (период), что для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

б) Главным (или основным) периодом периодической функции называют её наименьший положительный период. Все остальные периоды такой функции (если она непрерывна) будут кратны главному периоду. Например, для функции $y = \cos(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, 6\pi$ и т.д., а также $-2\pi, -4\pi$ и т.д. Наименьшим положительным среди этих чисел является $2\pi$, которое и является главным периодом.
Ответ: Главным периодом периодической функции называют её наименьший положительный период.

в) Нет, не всякая периодическая функция имеет главный период. Существуют функции, у которых есть множество периодов, но нет наименьшего положительного периода.
Простейший пример — постоянная функция, $f(x) = c$. Для неё любое действительное число $T \neq 0$ является периодом, так как $f(x+T) = c = f(x)$. Множество её положительных периодов — это интервал $(0, +\infty)$. В этом множестве нет наименьшего числа, так как для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ можно найти ещё меньшее, например $\epsilon/2$.
Более сложный пример — функция Дирихле $D(x)$, которая равна 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное. Любое ненулевое рациональное число является её периодом, но в множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего элемента.
Ответ: Нет, не всякая периодическая функция имеет главный период.

1.29 Приведите пример периодической функции:

а) имеющей главный период $pi$; $2\pi$; 1;

б) не имеющей главного периода.

Главный (основной) период функции $f(x)$ — это наименьшее положительное число $T$, для которого выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Для нахождения примеров удобно использовать тригонометрические функции вида $g(x) = \sin(\omega x)$ или $g(x) = \cos(\omega x)$, главный период которых вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$.

Для периода $T = \pi$: из формулы $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$ следует, что $\pi = \frac{2\pi}{|\omega|}$, откуда $|\omega|=2$. В качестве примера можно взять функцию $f(x) = \sin(2x)$.

Для периода $T = 2\pi$: из той же формулы следует, что $2\pi = \frac{2\pi}{|\omega|}$, откуда $|\omega|=1$. Классическим примером является функция $f(x) = \sin(x)$.

Для периода $T = 1$: аналогично, из $1 = \frac{2\pi}{|\omega|}$ получаем $|\omega|=2\pi$. Примером может служить функция $f(x) = \cos(2\pi x)$. Другим известным примером является функция дробной части числа, $f(x) = \{x\}$.

Ответ: для периода $\pi$: $f(x) = \sin(2x)$; для периода $2\pi$: $f(x) = \sin(x)$; для периода $1$: $f(x) = \cos(2\pi x)$.

Функция является периодической, если существует такое ненулевое число $T$ (называемое периодом), что $f(x+T) = f(x)$ для всех $x$ из области определения. Главный период — это наименьший положительный период. Если среди всех положительных периодов функции нет наименьшего, то функция не имеет главного периода.

Классическим примером такой функции является функция Дирихле, которая определяется следующим образом: $$ D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число } (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases} $$

Покажем, что эта функция периодическая. Пусть $T$ — любое ненулевое рациональное число ($T \in \mathbb{Q}, T \neq 0$). Если $x$ — рациональное число, то и сумма $x+T$ рациональна, поэтому $D(x) = 1$ и $D(x+T) = 1$. Если же $x$ — иррациональное число, то и сумма $x+T$ иррациональна, поэтому $D(x) = 0$ и $D(x+T) = 0$. В обоих случаях $D(x+T) = D(x)$, следовательно, любое ненулевое рациональное число является периодом функции Дирихле.

У этой функции нет главного периода, так как множество ее положительных периодов — это множество всех положительных рациональных чисел $\mathbb{Q}^+$. В этом множестве нет наименьшего элемента: для любого положительного рационального числа $r$ всегда можно найти меньшее, например, $r/2$. Поскольку наименьшего положительного периода не существует, функция Дирихле не имеет главного периода.

Другим примером является любая ненулевая постоянная функция, например $f(x) = c$. Для нее периодом является любое действительное число $T \neq 0$. Множество положительных периодов ($\mathbb{R}^+$) также не имеет наименьшего элемента.

Ответ: Функция Дирихле $D(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text{если } x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.

1.30* Докажите, что если число $T$ есть период функции $f$, то число $mT$, где $m \in N$, также будет периодом этой функции.

По определению, число $T \ne 0$ является периодом функции $f$, если для любого $x$ из области определения функции $D(f)$ выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Важным условием также является то, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, и $x-T \in D(f)$.

Дано:
- Функция $f(x)$.
- $T$ — период функции $f(x)$, то есть $f(x+T) = f(x)$ для любого $x \in D(f)$.
- $m \in N$, где $N$ — множество натуральных чисел ($m = 1, 2, 3, \dots$).

Доказать:
Число $mT$ также является периодом функции $f(x)$, то есть необходимо доказать, что $f(x + mT) = f(x)$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом последовательного применения определения периода.

Рассмотрим значение функции в точке $x + mT$: $f(x + mT)$.
Так как $m$ — натуральное число, мы можем представить $mT$ как сумму $m$ слагаемых, равных $T$: $mT = \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}}$.

Тогда $f(x + mT) = f(x + \underbrace{T + T + \dots + T}_{m \text{ раз}})$.

Теперь будем последовательно применять свойство периодичности $f(y+T) = f(y)$.

$f(x + mT) = f((x + (m-1)T) + T)$

Поскольку $T$ является периодом, то для аргумента $y = x + (m-1)T$ справедливо равенство $f(y+T) = f(y)$. Отметим, что если $x \in D(f)$, то и $x+T \in D(f)$, $x+2T \in D(f)$ и так далее, до $x+mT \in D(f)$, поэтому все аргументы корректны.

Следовательно, $f((x + (m-1)T) + T) = f(x + (m-1)T)$.

Мы получили, что $f(x + mT) = f(x + (m-1)T)$.

Применяя это рассуждение снова к $f(x + (m-1)T)$, получим:

$f(x + (m-1)T) = f((x + (m-2)T) + T) = f(x + (m-2)T)$.

Продолжая этот процесс $m$ раз, мы построим следующую цепочку равенств:

$f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = f(x + (m-2)T) = \dots = f(x+T)$.

На последнем шаге мы используем исходное условие, что $T$ — период функции $f$:

$f(x+T) = f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $f(x+mT) = f(x)$ для любого натурального $m$. Это означает, что число $mT$ также является периодом функции $f$.

Ответ: Утверждение доказано. Исходя из определения периода $f(x+T)=f(x)$, можно построить цепочку равенств: $f(x + mT) = f(x + (m-1)T + T) = f(x + (m-1)T)$. Повторяя эту операцию $m$ раз, получаем $f(x + mT) = f(x + (m-1)T) = \dots = f(x+T) = f(x)$. Следовательно, число $mT$ является периодом функции $f$ для любого натурального $m$.

1.31 На рисунке 2, а–г изображена часть графика функции $y = f(x)$. Продолжите построение графика функции, если известно, что период данной функции $T = 2$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 2

а)

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 2) = f(x)$. Геометрически это означает, что график функции состоит из повторяющихся фрагментов, получаемых сдвигом одного основного фрагмента вдоль оси $Ox$ на $2k$, где $k$ – любое целое число.

На рисунке а) изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Длина этого отрезка равна $2 - 0 = 2$, что совпадает с периодом $T$. Следовательно, этот фрагмент является основным для построения всего графика. Фрагмент представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 2)$ и $(2, 0)$.

Чтобы продолжить построение, мы должны скопировать этот треугольник и сдвинуть его влево и вправо на расстояния, кратные периоду $T=2$. Например, на отрезке $[2, 4]$ график будет представлять собой треугольник с вершинами в точках $(2, 0)$, $(3, 2)$ и $(4, 0)$. На отрезке $[-2, 0]$ – треугольник с вершинами $(-2, 0)$, $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Продолжая этот процесс для всех целых $k$, мы получим полный график функции.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную "пилообразную" волну, состоящую из повторяющихся одинаковых треугольных сегментов. Вершины этих треугольников находятся в точках $(2k, 0)$, $(2k+1, 2)$ и $(2k+2, 0)$ для всех целых чисел $k$.

б)

На рисунке б) изображена часть графика на полуинтервале $[-1, 1)$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Таким образом, показанный отрезок прямой является основным фрагментом графика. Этот фрагмент соединяет точку $(-1, 0)$ (закрашенный кружок, точка включена) и точку $(1, 2)$ (пустой кружок, точка исключена).

Для построения всего графика необходимо продублировать этот фрагмент, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на $2k$ для всех целых $k$. Общий вид фрагмента будет на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, он будет соединять точку $(2k-1, 0)$ (включительно) с точкой $(2k+1, 2)$ (исключительно).

Рассмотрим, например, поведение функции в точках разрыва, которыми являются все нечетные целые числа. Возьмем точку $x=1$. Из периодичности следует, что $f(1) = f(1-2) = f(-1)$. По графику $f(-1) = 0$, значит $f(1) = 0$. При этом предел слева $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$. Таким образом, в каждой точке вида $x = 2k+1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора одинаковых отрезков. Каждый отрезок задан на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, соединяет точку $(2k-1, 0)$ (включительно) и точку $(2k+1, 2)$ (исключительно), где $k$ – любое целое число. В точках $x=2k+1$ функция имеет разрывы.

в)

На рисунке в) изображена часть графика на отрезке $[-1, 1]$. Длина этого отрезка равна $1 - (-1) = 2$, что соответствует периоду $T$. Этот фрагмент, имеющий форму "острия" (каспа) с вершиной в точке $(0, 3)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, является основным.

Для получения всего графика мы повторяем этот фрагмент, сдвигая его на $2k$ вдоль оси $Ox$. Например, на отрезке $[1, 3]$ график будет иметь такую же форму, начинаясь в точке $(1, 0)$, достигая максимума в точке $(2, 3)$ и возвращаясь в точку $(3, 0)$. На отрезке $[-3, -1]$ график будет иметь максимум в точке $(-2, 3)$. Так как на границах отрезков значения функции совпадают ($f(-1)=f(1)=0$), итоговый график будет непрерывным на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную волну, состоящую из повторяющихся сегментов. Каждый сегмент на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ представляет собой кривую, симметричную относительно прямой $x=2k$, которая начинается в точке $(2k-1, 0)$, достигает максимума в точке $(2k, 3)$ в виде каспа и опускается до точки $(2k+1, 0)$, где $k$ – любое целое число.

г)

На рисунке г) изображена часть графика на промежутке $(-1, 1]$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Однако, в данном виде график содержит противоречие с условием периодичности.

Противоречие заключается в следующем: из графика видно, что точка $(1, 1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок), то есть $f(1) = 1$. С другой стороны, в точке $x = -1$ на графике изображен пустой кружок, что означает, что точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику. Но из условия периодичности $f(x) = f(x+2)$ должно следовать, что $f(-1) = f(-1+2) = f(1)$. Таким образом, $f(-1)$ должно быть равно 1, что противоречит изображению.

Предположим, что на рисунке допущена неточность, и точка $(-1, 1)$ также должна быть закрашена, то есть $f(-1)=1$. При этом предположении мы можем корректно построить периодическую функцию. Основной фрагмент на отрезке $[-1, 1]$ состоит из двух частей: 1. Кривая от точки $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$ на отрезке $[-1, 0]$. 2. В точке $x=0$ происходит скачок: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$. Далее на полуинтервале $(0, 1]$ идет кривая от $y=2$ до точки $(1, 1)$.

Продолжая этот узор, мы получим, что в каждой точке $x=2k$ (четные целые числа) будет разрыв первого рода (скачок от $0$ до $2$), а в каждой точке $x=2k+1$ (нечетные целые числа) функция будет непрерывна, и ее значение будет равно 1.

Ответ: Если предположить, что точка $(-1, 1)$ включена в график для выполнения условия периодичности, то график функции состоит из повторяющихся блоков. Каждый блок на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ состоит из двух кривых: одна идет от точки $(2k-1, 1)$ до $(2k, 0)$, а вторая, после скачка, идет от уровня $y=2$ (в точке $x=2k$) до точки $(2k+1, 1)$. Функция имеет разрывы первого рода в точках $x=2k$ и непрерывна в точках $x=2k+1$ для всех целых $k$.