Номер 1.28, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.28, страница 13.

Условие.

$1.28^\circ$

a) Какую функцию называют периодической?

б) Какое число называют главным периодом периодической функции?

в) Всякая ли периодическая функция имеет главный период?

Решение 1.

Решение 4.

а) Функцию $y = f(x)$ называют периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, что для любого $x$ из области определения функции выполняются равенства $f(x + T) = f(x)$ и $f(x - T) = f(x)$. Это означает, что значения функции повторяются через определенный интервал, который называется периодом. Число $T$ называют периодом функции $f(x)$. Важно отметить, что если $T$ — период, то любое число вида $nT$, где $n$ — целое, не равное нулю число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$), также является её периодом.
Ответ: Периодической называют функцию $y = f(x)$, для которой существует такое ненулевое число $T$ (период), что для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$.

б) Главным (или основным) периодом периодической функции называют её наименьший положительный период. Все остальные периоды такой функции (если она непрерывна) будут кратны главному периоду. Например, для функции $y = \cos(x)$ периодами являются числа $2\pi, 4\pi, 6\pi$ и т.д., а также $-2\pi, -4\pi$ и т.д. Наименьшим положительным среди этих чисел является $2\pi$, которое и является главным периодом.
Ответ: Главным периодом периодической функции называют её наименьший положительный период.

в) Нет, не всякая периодическая функция имеет главный период. Существуют функции, у которых есть множество периодов, но нет наименьшего положительного периода.
Простейший пример — постоянная функция, $f(x) = c$. Для неё любое действительное число $T \neq 0$ является периодом, так как $f(x+T) = c = f(x)$. Множество её положительных периодов — это интервал $(0, +\infty)$. В этом множестве нет наименьшего числа, так как для любого сколь угодно малого положительного числа $\epsilon$ можно найти ещё меньшее, например $\epsilon/2$.
Более сложный пример — функция Дирихле $D(x)$, которая равна 1, если $x$ — рациональное число, и 0, если $x$ — иррациональное. Любое ненулевое рациональное число является её периодом, но в множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего элемента.
Ответ: Нет, не всякая периодическая функция имеет главный период.