Номер 1.33, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.33, страница 14.

Условие.

1.33 a) $y = |\sin x|$;

б) $y = |\cos x|$;

в) $y = |\operatorname{tg} x|$;

г) $y = |\operatorname{ctg} x|$;

д) $y = \sin |x|$;

е) $y = \cos |x|$;

ж) $y = \operatorname{tg} |x|$;

з) $y = \operatorname{ctg} |x|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и ту его часть, что лежит ниже оси абсцисс (Ох), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ох, остается без изменений.

В данном случае, для построения графика функции $y = |\sin x|$, мы берем график $y = \sin x$ (синусоиду) и отрицательные полуволны (где $\sin x < 0$) отражаем вверх. В результате все "впадины" синусоиды становятся "холмами".

Основные свойства функции $y = |\sin x|$:

1. Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $|\sin x| \ge 0$ и максимальное значение $\sin x$ равно 1, область значений $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (Oy).

4. Периодичность: функция периодическая. Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. После взятия модуля отрицательная полуволна становится идентичной положительной, и наименьший положительный период становится равным $\pi$. Итак, $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0, 1]$.

б) $y = |\cos x|$

Построение графика аналогично предыдущему пункту: берем график $y = \cos x$ и части графика, лежащие ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\cos x|$:

1. Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0, 1]$.

в) $y = |\text{tg } x|$

Берем известный график функции $y = \text{tg } x$ и его ветви, расположенные под осью Ox, симметрично отражаем относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\text{tg } x|$:

1. Область определения: та же, что и у тангенса, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: так как тангенс принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, его модуль будет принимать все неотрицательные значения. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |\text{tg}(-x)| = |-\text{tg } x| = |\text{tg } x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая. Период тангенса равен $\pi$, и он сохраняется после взятия модуля. $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{tg } x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

г) $y = |\text{ctg } x|$

Берем график функции $y = \text{ctg } x$ и его ветви, расположенные под осью Ox, симметрично отражаем относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\text{ctg } x|$:

1. Область определения: та же, что и у котангенса, $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |\text{ctg}(-x)| = |-\text{ctg } x| = |\text{ctg } x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg } x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

д) $y = \sin |x|$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить эту часть графика симметрично относительно оси ординат (Oy) для $x < 0$. Часть графика $y=f(x)$ при $x<0$ отбрасывается.

В данном случае, строим график $y = \sin x$ для $x \ge 0$ (синусоида, начинающаяся в точке (0,0)) и отражаем его относительно оси Oy.

Основные свойства функции $y = \sin|x|$:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $|x|$ принимает все неотрицательные значения, $\sin|x|$ будет принимать все значения, что и синус для неотрицательных аргументов, то есть $E(y) = [-1, 1]$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это следует и из способа построения графика.

4. Периодичность: функция не является периодической. Хотя "колебания" и повторяются, общего периода для всей функции нет из-за "излома" в точке $x=0$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin x$ для $x \ge 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

е) $y = \cos |x|$

Функция $y = \cos x$ является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$. Поэтому $\cos|x| = \cos x$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что график функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Правило построения для $y = f(|x|)$ также приводит к этому результату: часть графика $y = \cos x$ для $x \ge 0$ при отражении относительно оси Oy дает в точности ту же часть графика, что была для $x < 0$.

Основные свойства функции $y = \cos|x|$ совпадают со свойствами $y = \cos x$:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-1, 1]$.

3. Четность: функция четная.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos|x|$ совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Функция четная, периодическая с периодом $T = 2\pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

ж) $y = \text{tg } |x|$

Строим график по правилу для $y = f(|x|)$: берем график $y = \text{tg } x$ для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \ge 0$ также отразятся и появятся при $x = -(\frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Основные свойства функции $y = \text{tg } |x|$:

1. Область определения: $|x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \in \{0, 1, 2, ...\}$. Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: для $x \ge 0$, $|x|$ пробегает все значения от $0$ до $+\infty$. Тангенс на этом множестве аргументов принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \text{tg}|-x| = \text{tg}|x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{tg } x$ для $x \ge 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

з) $y = \text{ctg } |x|$

Строим график по правилу для $y = f(|x|)$: берем график $y = \text{ctg } x$ для $x > 0$ (при $x=0$ у котангенса асимптота) и отражаем его симметрично относительно оси Oy. Асимптоты $x = \pi n$ для $n > 0$ отразятся в $x = -\pi n$.

Основные свойства функции $y = \text{ctg } |x|$:

1. Область определения: $|x| \neq \pi n$ для $n \in \{0, 1, 2, ...\}$. Это эквивалентно условию $x \neq \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \text{ctg}|-x| = \text{ctg}|x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg } x$ для $x > 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$.