Номер 1.36, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.36, страница 14.

Условие.

1.36 Определите период функции:

a) $y = \sin 3x + \cos 8x;$

б) $y = \sin 7x \cos 5x + \sin 5x \cos 7x;$

в) $y = \sin 4x + \cos 10x;$

г) $y = \sin 7x \cos 5x - \sin 5x \cos 7x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для нахождения периода функции $y = \sin 3x + \cos 8x$ необходимо найти периоды каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).
Период функции $f(x) = \sin 3x$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.
Период функции $g(x) = \cos 8x$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Период $T$ функции $y(x)$ должен быть таким, чтобы для некоторых целых чисел $n$ и $k$ выполнялось равенство $T = n \cdot T_1 = k \cdot T_2$.
$n \cdot \frac{2\pi}{3} = k \cdot \frac{\pi}{4}$
Умножим обе части на $\frac{1}{\pi}$:
$\frac{2n}{3} = \frac{k}{4}$
$8n = 3k$
Так как числа 8 и 3 взаимно простые, наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, — это $n=3$ и $k=8$.
Теперь найдем период $T$, подставив $n=3$ в формулу для $T_1$:
$T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.
Проверим, подставив $k=8$ в формулу для $T_2$:
$T = 8 \cdot T_2 = 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi$.
Наименьший положительный период функции равен $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

б) Для нахождения периода функции $y = \sin 7x \cos 5x + \sin 5x \cos 7x$ сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда функция примет вид:
$y = \sin(7x + 5x) = \sin(12x)$.
Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=12$, следовательно, период равен:
$T = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

в) Для нахождения периода функции $y = \sin 4x + \cos 10x$ найдем периоды каждого слагаемого, а затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Период функции $f(x) = \sin 4x$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Период функции $g(x) = \cos 10x$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.
Период $T$ функции $y(x)$ должен удовлетворять равенству $T = n \cdot T_1 = k \cdot T_2$ для некоторых целых чисел $n$ и $k$.
$n \cdot \frac{\pi}{2} = k \cdot \frac{\pi}{5}$
Умножим обе части на $\frac{1}{\pi}$:
$\frac{n}{2} = \frac{k}{5}$
$5n = 2k$
Так как числа 5 и 2 взаимно простые, наименьшие натуральные значения — это $n=2$ и $k=5$.
Найдем период $T$:
$T = 2 \cdot T_1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
Проверим со вторым множителем:
$T = 5 \cdot T_2 = 5 \cdot \frac{\pi}{5} = \pi$.
Наименьший положительный период функции равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для нахождения периода функции $y = \sin 7x \cos 5x - \sin 5x \cos 7x$ упростим выражение. Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда выражение можно переписать как:
$y = \sin(7x - 5x) = \sin(2x)$.
Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В данном случае $k=2$, поэтому период равен:
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.