Номер 1.31, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.31, страница 13.

№1.31 (с. 13)
Условие. №1.31 (с. 13)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 13, номер 1.31, Условие

1.31 На рисунке 2, а–г изображена часть графика функции $y = f(x)$. Продолжите построение графика функции, если известно, что период данной функции $T = 2$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 2

Решение 1. №1.31 (с. 13)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 13, номер 1.31, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 13, номер 1.31, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 13, номер 1.31, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 13, номер 1.31, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 4. №1.31 (с. 13)

а)

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 2) = f(x)$. Геометрически это означает, что график функции состоит из повторяющихся фрагментов, получаемых сдвигом одного основного фрагмента вдоль оси $Ox$ на $2k$, где $k$ – любое целое число.

На рисунке а) изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Длина этого отрезка равна $2 - 0 = 2$, что совпадает с периодом $T$. Следовательно, этот фрагмент является основным для построения всего графика. Фрагмент представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 2)$ и $(2, 0)$.

Чтобы продолжить построение, мы должны скопировать этот треугольник и сдвинуть его влево и вправо на расстояния, кратные периоду $T=2$. Например, на отрезке $[2, 4]$ график будет представлять собой треугольник с вершинами в точках $(2, 0)$, $(3, 2)$ и $(4, 0)$. На отрезке $[-2, 0]$ – треугольник с вершинами $(-2, 0)$, $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Продолжая этот процесс для всех целых $k$, мы получим полный график функции.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную "пилообразную" волну, состоящую из повторяющихся одинаковых треугольных сегментов. Вершины этих треугольников находятся в точках $(2k, 0)$, $(2k+1, 2)$ и $(2k+2, 0)$ для всех целых чисел $k$.

б)

На рисунке б) изображена часть графика на полуинтервале $[-1, 1)$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Таким образом, показанный отрезок прямой является основным фрагментом графика. Этот фрагмент соединяет точку $(-1, 0)$ (закрашенный кружок, точка включена) и точку $(1, 2)$ (пустой кружок, точка исключена).

Для построения всего графика необходимо продублировать этот фрагмент, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на $2k$ для всех целых $k$. Общий вид фрагмента будет на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, он будет соединять точку $(2k-1, 0)$ (включительно) с точкой $(2k+1, 2)$ (исключительно).

Рассмотрим, например, поведение функции в точках разрыва, которыми являются все нечетные целые числа. Возьмем точку $x=1$. Из периодичности следует, что $f(1) = f(1-2) = f(-1)$. По графику $f(-1) = 0$, значит $f(1) = 0$. При этом предел слева $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$. Таким образом, в каждой точке вида $x = 2k+1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора одинаковых отрезков. Каждый отрезок задан на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, соединяет точку $(2k-1, 0)$ (включительно) и точку $(2k+1, 2)$ (исключительно), где $k$ – любое целое число. В точках $x=2k+1$ функция имеет разрывы.

в)

На рисунке в) изображена часть графика на отрезке $[-1, 1]$. Длина этого отрезка равна $1 - (-1) = 2$, что соответствует периоду $T$. Этот фрагмент, имеющий форму "острия" (каспа) с вершиной в точке $(0, 3)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, является основным.

Для получения всего графика мы повторяем этот фрагмент, сдвигая его на $2k$ вдоль оси $Ox$. Например, на отрезке $[1, 3]$ график будет иметь такую же форму, начинаясь в точке $(1, 0)$, достигая максимума в точке $(2, 3)$ и возвращаясь в точку $(3, 0)$. На отрезке $[-3, -1]$ график будет иметь максимум в точке $(-2, 3)$. Так как на границах отрезков значения функции совпадают ($f(-1)=f(1)=0$), итоговый график будет непрерывным на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную волну, состоящую из повторяющихся сегментов. Каждый сегмент на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ представляет собой кривую, симметричную относительно прямой $x=2k$, которая начинается в точке $(2k-1, 0)$, достигает максимума в точке $(2k, 3)$ в виде каспа и опускается до точки $(2k+1, 0)$, где $k$ – любое целое число.

г)

На рисунке г) изображена часть графика на промежутке $(-1, 1]$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Однако, в данном виде график содержит противоречие с условием периодичности.

Противоречие заключается в следующем: из графика видно, что точка $(1, 1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок), то есть $f(1) = 1$. С другой стороны, в точке $x = -1$ на графике изображен пустой кружок, что означает, что точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику. Но из условия периодичности $f(x) = f(x+2)$ должно следовать, что $f(-1) = f(-1+2) = f(1)$. Таким образом, $f(-1)$ должно быть равно 1, что противоречит изображению.

Предположим, что на рисунке допущена неточность, и точка $(-1, 1)$ также должна быть закрашена, то есть $f(-1)=1$. При этом предположении мы можем корректно построить периодическую функцию. Основной фрагмент на отрезке $[-1, 1]$ состоит из двух частей: 1. Кривая от точки $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$ на отрезке $[-1, 0]$. 2. В точке $x=0$ происходит скачок: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$. Далее на полуинтервале $(0, 1]$ идет кривая от $y=2$ до точки $(1, 1)$.

Продолжая этот узор, мы получим, что в каждой точке $x=2k$ (четные целые числа) будет разрыв первого рода (скачок от $0$ до $2$), а в каждой точке $x=2k+1$ (нечетные целые числа) функция будет непрерывна, и ее значение будет равно 1.

Ответ: Если предположить, что точка $(-1, 1)$ включена в график для выполнения условия периодичности, то график функции состоит из повторяющихся блоков. Каждый блок на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ состоит из двух кривых: одна идет от точки $(2k-1, 1)$ до $(2k, 0)$, а вторая, после скачка, идет от уровня $y=2$ (в точке $x=2k$) до точки $(2k+1, 1)$. Функция имеет разрывы первого рода в точках $x=2k$ и непрерывна в точках $x=2k+1$ для всех целых $k$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.31 расположенного на странице 13 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.31 (с. 13), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.