Номер 1.31, страница 13 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.31, страница 13.

Условие.

1.31 На рисунке 2, а–г изображена часть графика функции $y = f(x)$. Продолжите построение графика функции, если известно, что период данной функции $T = 2$.

а)

б)

в)

г)

Рис. 2

Решение 1.

Решение 4.

а)

По условию, функция $y = f(x)$ является периодической с периодом $T = 2$. Это означает, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 2) = f(x)$. Геометрически это означает, что график функции состоит из повторяющихся фрагментов, получаемых сдвигом одного основного фрагмента вдоль оси $Ox$ на $2k$, где $k$ – любое целое число.

На рисунке а) изображена часть графика на отрезке $[0, 2]$. Длина этого отрезка равна $2 - 0 = 2$, что совпадает с периодом $T$. Следовательно, этот фрагмент является основным для построения всего графика. Фрагмент представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 2)$ и $(2, 0)$.

Чтобы продолжить построение, мы должны скопировать этот треугольник и сдвинуть его влево и вправо на расстояния, кратные периоду $T=2$. Например, на отрезке $[2, 4]$ график будет представлять собой треугольник с вершинами в точках $(2, 0)$, $(3, 2)$ и $(4, 0)$. На отрезке $[-2, 0]$ – треугольник с вершинами $(-2, 0)$, $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Продолжая этот процесс для всех целых $k$, мы получим полный график функции.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную "пилообразную" волну, состоящую из повторяющихся одинаковых треугольных сегментов. Вершины этих треугольников находятся в точках $(2k, 0)$, $(2k+1, 2)$ и $(2k+2, 0)$ для всех целых чисел $k$.

б)

На рисунке б) изображена часть графика на полуинтервале $[-1, 1)$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Таким образом, показанный отрезок прямой является основным фрагментом графика. Этот фрагмент соединяет точку $(-1, 0)$ (закрашенный кружок, точка включена) и точку $(1, 2)$ (пустой кружок, точка исключена).

Для построения всего графика необходимо продублировать этот фрагмент, сдвигая его вдоль оси $Ox$ на $2k$ для всех целых $k$. Общий вид фрагмента будет на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, он будет соединять точку $(2k-1, 0)$ (включительно) с точкой $(2k+1, 2)$ (исключительно).

Рассмотрим, например, поведение функции в точках разрыва, которыми являются все нечетные целые числа. Возьмем точку $x=1$. Из периодичности следует, что $f(1) = f(1-2) = f(-1)$. По графику $f(-1) = 0$, значит $f(1) = 0$. При этом предел слева $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$. Таким образом, в каждой точке вида $x = 2k+1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора одинаковых отрезков. Каждый отрезок задан на полуинтервале $[2k-1, 2k+1)$, соединяет точку $(2k-1, 0)$ (включительно) и точку $(2k+1, 2)$ (исключительно), где $k$ – любое целое число. В точках $x=2k+1$ функция имеет разрывы.

в)

На рисунке в) изображена часть графика на отрезке $[-1, 1]$. Длина этого отрезка равна $1 - (-1) = 2$, что соответствует периоду $T$. Этот фрагмент, имеющий форму "острия" (каспа) с вершиной в точке $(0, 3)$ и концами в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$, является основным.

Для получения всего графика мы повторяем этот фрагмент, сдвигая его на $2k$ вдоль оси $Ox$. Например, на отрезке $[1, 3]$ график будет иметь такую же форму, начинаясь в точке $(1, 0)$, достигая максимума в точке $(2, 3)$ и возвращаясь в точку $(3, 0)$. На отрезке $[-3, -1]$ график будет иметь максимум в точке $(-2, 3)$. Так как на границах отрезков значения функции совпадают ($f(-1)=f(1)=0$), итоговый график будет непрерывным на всей числовой оси.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную волну, состоящую из повторяющихся сегментов. Каждый сегмент на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ представляет собой кривую, симметричную относительно прямой $x=2k$, которая начинается в точке $(2k-1, 0)$, достигает максимума в точке $(2k, 3)$ в виде каспа и опускается до точки $(2k+1, 0)$, где $k$ – любое целое число.

г)

На рисунке г) изображена часть графика на промежутке $(-1, 1]$. Длина этого промежутка равна $1 - (-1) = 2$, что равно периоду $T$. Однако, в данном виде график содержит противоречие с условием периодичности.

Противоречие заключается в следующем: из графика видно, что точка $(1, 1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок), то есть $f(1) = 1$. С другой стороны, в точке $x = -1$ на графике изображен пустой кружок, что означает, что точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику. Но из условия периодичности $f(x) = f(x+2)$ должно следовать, что $f(-1) = f(-1+2) = f(1)$. Таким образом, $f(-1)$ должно быть равно 1, что противоречит изображению.

Предположим, что на рисунке допущена неточность, и точка $(-1, 1)$ также должна быть закрашена, то есть $f(-1)=1$. При этом предположении мы можем корректно построить периодическую функцию. Основной фрагмент на отрезке $[-1, 1]$ состоит из двух частей: 1. Кривая от точки $(-1, 1)$ до точки $(0, 0)$ на отрезке $[-1, 0]$. 2. В точке $x=0$ происходит скачок: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$. Далее на полуинтервале $(0, 1]$ идет кривая от $y=2$ до точки $(1, 1)$.

Продолжая этот узор, мы получим, что в каждой точке $x=2k$ (четные целые числа) будет разрыв первого рода (скачок от $0$ до $2$), а в каждой точке $x=2k+1$ (нечетные целые числа) функция будет непрерывна, и ее значение будет равно 1.

Ответ: Если предположить, что точка $(-1, 1)$ включена в график для выполнения условия периодичности, то график функции состоит из повторяющихся блоков. Каждый блок на отрезке $[2k-1, 2k+1]$ состоит из двух кривых: одна идет от точки $(2k-1, 1)$ до $(2k, 0)$, а вторая, после скачка, идет от уровня $y=2$ (в точке $x=2k$) до точки $(2k+1, 1)$. Функция имеет разрывы первого рода в точках $x=2k$ и непрерывна в точках $x=2k+1$ для всех целых $k$.