Номер 1.25, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.25, страница 12.

Условие.

1.25 Представьте функцию $y = 2^x$, определённую на всей числовой оси, в виде суммы чётной и нечётной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Любую функцию $f(x)$, определённую на симметричной относительно начала координат области (в данном случае на всей числовой оси), можно единственным образом представить в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$:

$f(x) = g(x) + h(x)$

Чётная и нечётная составляющие функции $f(x)$ находятся по следующим формулам:

Чётная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Нечётная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

В нашем случае дана функция $y(x) = 2^x$.

Найдём значение функции для $-x$:

$y(-x) = 2^{-x}$

Теперь подставим $y(x)$ и $y(-x)$ в формулы для нахождения чётной и нечётной частей.

Чётная составляющая функции, назовем её $g(x)$:

$g(x) = \frac{y(x) + y(-x)}{2} = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$

Проверим, является ли функция $g(x)$ чётной, подставив $-x$ вместо $x$:

$g(-x) = \frac{2^{-x} + 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} + 2^x}{2} = g(x)$. Так как $g(-x) = g(x)$, функция является чётной.

Нечётная составляющая функции, назовем её $h(x)$:

$h(x) = \frac{y(x) - y(-x)}{2} = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$

Проверим, является ли функция $h(x)$ нечётной:

$h(-x) = \frac{2^{-x} - 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} - 2^x}{2} = - \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -h(x)$. Так как $h(-x) = -h(x)$, функция является нечётной.

Таким образом, мы представили исходную функцию $y = 2^x$ в виде суммы чётной и нечётной функций:

$2^x = g(x) + h(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$

Проверим, что сумма этих двух функций действительно равна исходной функции:

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2^x + 2^{-x} + 2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2 \cdot 2^x}{2} = 2^x$.

Равенство выполняется, следовательно, разложение найдено верно.

Ответ: $2^x = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$, где чётная часть — это функция $g(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$, а нечётная часть — это функция $h(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$.