Номер 1.25, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.25, страница 12.
№1.25 (с. 12)
Условие. №1.25 (с. 12)
скриншот условия

1.25 Представьте функцию $y = 2^x$, определённую на всей числовой оси, в виде суммы чётной и нечётной функции.
Решение 1. №1.25 (с. 12)

Решение 2. №1.25 (с. 12)

Решение 3. №1.25 (с. 12)

Решение 4. №1.25 (с. 12)
Любую функцию $f(x)$, определённую на симметричной относительно начала координат области (в данном случае на всей числовой оси), можно единственным образом представить в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$:
$f(x) = g(x) + h(x)$
Чётная и нечётная составляющие функции $f(x)$ находятся по следующим формулам:
Чётная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$
Нечётная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
В нашем случае дана функция $y(x) = 2^x$.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = 2^{-x}$
Теперь подставим $y(x)$ и $y(-x)$ в формулы для нахождения чётной и нечётной частей.
Чётная составляющая функции, назовем её $g(x)$:
$g(x) = \frac{y(x) + y(-x)}{2} = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$
Проверим, является ли функция $g(x)$ чётной, подставив $-x$ вместо $x$:
$g(-x) = \frac{2^{-x} + 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} + 2^x}{2} = g(x)$. Так как $g(-x) = g(x)$, функция является чётной.
Нечётная составляющая функции, назовем её $h(x)$:
$h(x) = \frac{y(x) - y(-x)}{2} = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$
Проверим, является ли функция $h(x)$ нечётной:
$h(-x) = \frac{2^{-x} - 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} - 2^x}{2} = - \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -h(x)$. Так как $h(-x) = -h(x)$, функция является нечётной.
Таким образом, мы представили исходную функцию $y = 2^x$ в виде суммы чётной и нечётной функций:
$2^x = g(x) + h(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$
Проверим, что сумма этих двух функций действительно равна исходной функции:
$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2^x + 2^{-x} + 2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2 \cdot 2^x}{2} = 2^x$.
Равенство выполняется, следовательно, разложение найдено верно.
Ответ: $2^x = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$, где чётная часть — это функция $g(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$, а нечётная часть — это функция $h(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.25 расположенного на странице 12 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.25 (с. 12), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.