Номер 1.19, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.19, страница 11.

Условие.

1.19 a) $y = |x - 4| + |x + 4|;$

б) $y = |x - 8| + |x + 8|;$

в) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 6x + 9};$

д) $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)} + \sqrt{(x + 3)(x - 2)};$

е) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 7)} + \sqrt{(x + 1)(x + 7)}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Для того чтобы раскрыть модули в выражении $y = |x - 4| + |x + 4|$, рассмотрим три случая, в зависимости от знака подмодульных выражений. Нули подмодульных выражений: $x = 4$ и $x = -4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

1. При $x < -4$: оба выражения $x-4$ и $x+4$ отрицательны.
$y = -(x - 4) - (x + 4) = -x + 4 - x - 4 = -2x$.

2. При $-4 \le x < 4$: выражение $x-4$ отрицательно, а $x+4$ неотрицательно.
$y = -(x - 4) + (x + 4) = -x + 4 + x + 4 = 8$.

3. При $x \ge 4$: оба выражения $x-4$ и $x+4$ неотрицательны.
$y = (x - 4) + (x + 4) = x - 4 + x + 4 = 2x$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -4 \\ 8, & \text{при } -4 \le x < 4 \\ 2x, & \text{при } x \ge 4 \end{cases}$

б) Решение аналогично пункту а). Дано выражение $y = |x - 8| + |x + 8|$. Нули подмодульных выражений: $x = 8$ и $x = -8$.

1. При $x < -8$: $y = -(x - 8) - (x + 8) = -x + 8 - x - 8 = -2x$.

2. При $-8 \le x < 8$: $y = -(x - 8) + (x + 8) = -x + 8 + x + 8 = 16$.

3. При $x \ge 8$: $y = (x - 8) + (x + 8) = x - 8 + x + 8 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -8 \\ 16, & \text{при } -8 \le x < 8 \\ 2x, & \text{при } x \ge 8 \end{cases}$

в) Упростим выражение $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}$. Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ и $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-1)^2} = |x + 1| + |x - 1|$.
Далее решаем аналогично предыдущим пунктам. Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = -1$.

1. При $x < -1$: $y = -(x + 1) - (x - 1) = -x - 1 - x + 1 = -2x$.

2. При $-1 \le x < 1$: $y = (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2$.

3. При $x \ge 1$: $y = (x + 1) + (x - 1) = x + 1 + x - 1 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -1 \\ 2, & \text{при } -1 \le x < 1 \\ 2x, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

г) Упростим выражение $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$. Подкоренные выражения являются полными квадратами: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ и $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
$y = \sqrt{(x+3)^2} + \sqrt{(x-3)^2} = |x + 3| + |x - 3|$.
Нули подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -3$.

1. При $x < -3$: $y = -(x + 3) - (x - 3) = -x - 3 - x + 3 = -2x$.

2. При $-3 \le x < 3$: $y = (x + 3) - (x - 3) = x + 3 - x + 3 = 6$.

3. При $x \ge 3$: $y = (x + 3) + (x - 3) = x + 3 + x - 3 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -3 \\ 6, & \text{при } -3 \le x < 3 \\ 2x, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$

д) Дана функция $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)} + \sqrt{(x + 3)(x - 2)}$. Для решения этой задачи найдем область определения функции. Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.

1. $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

2. $(x + 3)(x - 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Область определения функции $y$ есть пересечение этих двух множеств:
$D(y) = ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, -3] \cup [2, \infty)) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Выражение можно также записать, раскрыв скобки: $y = \sqrt{x^2 - x - 6} + \sqrt{x^2 + x - 6}$. Дальнейшее упрощение выражения невозможно.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 - x - 6} + \sqrt{x^2 + x - 6}$ при $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

е) Дана функция $y = \sqrt{(x - 1)(x - 7)} + \sqrt{(x + 1)(x + 7)}$. Найдем область определения функции, требуя, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

1. $(x - 1)(x - 7) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

2. $(x + 1)(x + 7) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.

Область определения функции $y$ есть пересечение этих двух множеств:
$D(y) = ((-\infty, 1] \cup [7, \infty)) \cap ((-\infty, -7] \cup [-1, \infty)) = (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [7, \infty)$.
Выражение можно также записать, раскрыв скобки: $y = \sqrt{x^2 - 8x + 7} + \sqrt{x^2 + 8x + 7}$. Дальнейшее упрощение выражения невозможно.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 - 8x + 7} + \sqrt{x^2 + 8x + 7}$ при $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [7, \infty)$.