Номер 1.16, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.16, страница 11.

Условие.

1.16 Докажите чётность функции:

a) $y = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$;

б) $y = 7x^6 + 6x^4 - 5.$

Решение 1.

Решение 4.

Для доказательства чётности функции необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

а) $y = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$

1. Обозначим функцию как $y(x) = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$. Областью определения для степенных функций $x^4$, $x^2$ и для тригонометрической функции $\cos x$ является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Следовательно, область определения всей функции $D(y) = \mathbb{R}$. Это множество симметрично относительно нуля.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 8 \cos(-x)$

Используем свойства чётной степени ($(-a)^{2k} = a^{2k}$) и свойство чётности функции косинус ($\cos(-x) = \cos x$):

$(-x)^4 = x^4$

$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти значения в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$

Сравнив результат с исходной функцией, получаем, что $y(-x) = y(x)$.

Поскольку оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Чётность функции доказана.

б) $y = 7x^6 + 6x^4 - 5$

1. Обозначим функцию как $y(x) = 7x^6 + 6x^4 - 5$. Данная функция является многочленом, область определения которого — множество всех действительных чисел $D(y) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 7(-x)^6 + 6(-x)^4 - 5$

Поскольку показатели степеней 6 и 4 являются чётными числами, то:

$(-x)^6 = x^6$

$(-x)^4 = x^4$

Подставим полученные выражения:

$y(-x) = 7x^6 + 6x^4 - 5$

Таким образом, $y(-x) = y(x)$.

Оба условия чётности выполнены, следовательно, функция является чётной. (Стоит отметить, что многочлен является чётной функцией тогда и только тогда, когда все входящие в него степени переменной $x$ являются чётными, что и наблюдается в данном случае: степени 6, 4 и 0).

Ответ: Чётность функции доказана.