Номер 1.22, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.22, страница 11.

Условие.

1.22 Решите задачу 1.21, если функция $y = f(x)$ нечётная.

а) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

в) $y = f(x)$

г) $y = f(x)$

Рис. 1

Решение 1.

Решение 4.

Для решения задачи воспользуемся определением нечётной функции. Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0, 0)$. Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит ему. Чтобы достроить график, нужно отразить данную часть графика симметрично относительно начала координат.

а)

На рисунке показана часть графика функции для $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 1)$. Уравнение этой части графика — $y = x$. Чтобы достроить график для $x < 0$, отразим данный луч относительно начала координат. Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(-1, -1)$, а точка $(0, 0)$ останется на месте. Таким образом, для $x < 0$ мы получим луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -1)$. Итоговый график представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом 45° к оси $Ox$.
Ответ: Полный график функции — это прямая $y=x$.

б)

На рисунке изображен график функции для $x \ge 0$. Он состоит из двух частей: отрезка, соединяющего точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$, и луча, выходящего из точки $(1, -1)$ и проходящего через точку $(2, 0)$. Для построения недостающей части графика отразим данные точки относительно начала координат:

• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(1, -1)$ переходит в точку $(-1, 1)$.
• Точка $(2, 0)$ переходит в точку $(-2, 0)$.

Теперь соединим полученные точки. Для $x < 0$ график будет состоять из отрезка, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$, и луча, выходящего из точки $(-1, 1)$ и проходящего через точку $(-2, 0)$.
Ответ: Недостающая часть графика для $x < 0$ — это ломаная линия, состоящая из отрезка от точки $(-1, 1)$ до $(0, 0)$ и луча, выходящего из точки $(-1, 1)$ и проходящего через точку $(-2, 0)$.

в)

Дан график функции для $x \le 0$. Он состоит из горизонтального луча $y=1$ при $x \le -1$ и отрезка, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$. Отразим ключевые точки и части графика относительно начала координат, чтобы построить его для $x > 0$:

• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в точку $(1, -1)$.
• Отрезок, соединяющий $(-1, 1)$ и $(0, 0)$, переходит в отрезок, соединяющий $(1, -1)$ и $(0, 0)$.
• Горизонтальный луч $y=1$ при $x \le -1$ переходит в горизонтальный луч $y=-1$ при $x \ge 1$. Чтобы это увидеть, можно отразить любую точку с этого луча, например, $(-2, 1)$, которая перейдет в точку $(2, -1)$.

Ответ: Недостающая часть графика для $x > 0$ состоит из отрезка от точки $(0, 0)$ до $(1, -1)$ и горизонтального луча $y = -1$ при $x \ge 1$.

г)

На рисунке для $x \ge 0$ изображена параболическая дуга. Это часть параболы с вершиной в точке $(2, 4)$, ветвями вниз, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Уравнение этой части графика: $f(x) = -(x-2)^2 + 4$. Изолированную точку на графике будем считать посторонней, не относящейся к графику функции. Для построения графика при $x < 0$ отразим данную дугу относительно начала координат:

• Вершина параболы $(2, 4)$ переходит в точку $(-2, -4)$, которая будет вершиной отраженной параболы.
• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(4, 0)$ переходит в точку $(-4, 0)$.

Таким образом, для $x < 0$ мы получим параболическую дугу с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх, соединяющую точки $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.
Ответ: Недостающая часть графика для $x < 0$ — это параболическая дуга с вершиной в точке $(-2, -4)$, проходящая через точки $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.