Номер 1.20, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.20, страница 11.

Условие.

1.20 a) $y = \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

б) $y = \frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 - 7x + 1} - \frac{x^2 - 5x + 1}{x^2 + 7x + 1}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели дробей всегда положительны, так как дискриминанты квадратных трехчленов $x^2 - 3x + 8$ и $x^2 + 3x + 8$ отрицательны ($D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 < 0$), а старшие коэффициенты положительны. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Представим числители через знаменатели, чтобы выделить целую часть в каждой дроби:

$\frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} = \frac{(x^2 - 3x + 8) + x - 4}{x^2 - 3x + 8} = 1 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8}$

$\frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8} = \frac{(x^2 + 3x + 8) - x - 4}{x^2 + 3x + 8} = 1 - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Тогда исходное выражение для $y$ принимает вид:

$y = \left(1 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8}\right) + \left(1 - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}\right) = 2 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8} - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y = 2 + \frac{(x - 4)(x^2 + 3x + 8) - (x + 4)(x^2 - 3x + 8)}{(x^2 - 3x + 8)(x^2 + 3x + 8)}$

Раскроем скобки. Знаменатель: $(x^2+8-3x)(x^2+8+3x) = (x^2+8)^2 - (3x)^2 = x^4 + 16x^2 + 64 - 9x^2 = x^4 + 7x^2 + 64$.

Числитель дробной части: $(x^3+3x^2+8x - 4x^2-12x-32) - (x^3-3x^2+8x + 4x^2-12x+32) = (x^3 - x^2 - 4x - 32) - (x^3 + x^2 - 4x + 32) = -2x^2 - 64$.

Подставляем обратно в выражение для $y$:

$y = 2 + \frac{-2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2(x^4 + 7x^2 + 64) - 2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2x^4 + 14x^2 + 128 - 2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2x^4 + 12x^2 + 64}{x^4 + 7x^2 + 64}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $y = \frac{2(x^4 + 6x^2 + 32)}{x^4 + 7x^2 + 64}$.

Теперь найдем область значений функции. Сделаем замену $u = x^2$, где $u \ge 0$.

$y(u) = \frac{2u^2 + 12u + 64}{u^2 + 7u + 64}$

Найдем производную $y'(u)$ для исследования функции на монотонность:

$y'(u) = \frac{(4u + 12)(u^2 + 7u + 64) - (2u^2 + 12u + 64)(2u + 7)}{(u^2 + 7u + 64)^2}$

Числитель производной равен: $(4u^3 + 40u^2 + 340u + 768) - (4u^3 + 38u^2 + 212u + 448) = 2u^2 + 128u + 320 = 2(u^2 + 64u + 160)$.

Для $u \ge 0$ выражение $u^2 + 64u + 160$ всегда положительно (при $u=0$ оно равно 160, а вершина параболы $u = -32$ лежит вне рассматриваемого промежутка). Знаменатель производной также всегда положителен. Следовательно, $y'(u) > 0$ для всех $u \ge 0$.

Это означает, что функция $y(u)$ монотонно возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

Минимальное значение функция принимает при $u = 0$ (что соответствует $x=0$):

$y_{min} = y(0) = \frac{2(0)^2 + 12(0) + 64}{0^2 + 7(0) + 64} = \frac{64}{64} = 1$.

Найдем предел функции при $u \to \infty$ (что соответствует $x \to \pm\infty$):

$\lim_{u \to \infty} \frac{2u^2 + 12u + 64}{u^2 + 7u + 64} = \lim_{u \to \infty} \frac{2 + 12/u + 64/u^2}{1 + 7/u + 64/u^2} = 2$.

Так как функция возрастает от 1 и асимптотически приближается к 2, ее область значений — это промежуток $[1, 2)$.

Ответ: Упрощенное выражение: $y = \frac{2x^4 + 12x^2 + 64}{x^4 + 7x^2 + 64}$. Область значений функции: $E(y) = [1, 2)$.

---

б) $y = \frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 - 7x + 1} - \frac{x^2 - 5x + 1}{x^2 + 7x + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме корней уравнений $x^2 - 7x + 1 = 0$ и $x^2 + 7x + 1 = 0$.

Для упрощения выражения заметим, что при $x \neq 0$ можно разделить числитель и знаменатель каждой дроби на $x$:

$y = \frac{x + 5 + 1/x}{x - 7 + 1/x} - \frac{x - 5 + 1/x}{x + 7 + 1/x}$

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда выражение примет вид:

$y(t) = \frac{t+5}{t-7} - \frac{t-5}{t+7} = \frac{(t+5)(t+7) - (t-5)(t-7)}{(t-7)(t+7)}$

$y(t) = \frac{(t^2 + 12t + 35) - (t^2 - 12t + 35)}{t^2 - 49} = \frac{24t}{t^2 - 49}$

Выполним обратную замену $t = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$:

$y = \frac{24\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)^2 - 49} = \frac{\frac{24(x^2+1)}{x}}{\frac{(x^2+1)^2 - 49x^2}{x^2}} = \frac{24(x^2+1)}{x} \cdot \frac{x^2}{x^4+2x^2+1-49x^2} = \frac{24x(x^2+1)}{x^4 - 47x^2 + 1}$.

Это упрощенное выражение справедливо для $x \neq 0$. Проверим случай $x=0$ по исходной формуле: $y(0) = \frac{1}{1} - \frac{1}{1} = 0$. Упрощенное выражение также дает 0 при $x=0$, значит, оно верно для всех $x$ из области определения.

Теперь найдем область значений функции. Исследуем множество значений, которые может принимать замена $t = x + \frac{1}{x}$.

При $x > 0$, по неравенству о средних, $t = x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$. При $x < 0$, $t = -(|x| + \frac{1}{|x|}) \le -2$. Таким образом, область значений $t$ есть $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Исследуем функцию $y(t) = \frac{24t}{t^2 - 49}$ на этом множестве. Найдем ее производную:

$y'(t) = \frac{24(t^2 - 49) - 24t(2t)}{(t^2 - 49)^2} = \frac{24t^2 - 24 \cdot 49 - 48t^2}{(t^2 - 49)^2} = \frac{-24(t^2 + 49)}{(t^2 - 49)^2}$.

Поскольку $t^2+49 > 0$ и $(t^2-49)^2 \ge 0$, то $y'(t) < 0$ для всех $t$ из области определения $y(t)$. Функция $y(t)$ монотонно убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Рассмотрим поведение функции на границах и асимптотах для $t \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$:

1. Для $t \in [2, 7)$: $y(t)$ убывает от $y(2) = \frac{24 \cdot 2}{4 - 49} = -\frac{48}{45} = -\frac{16}{15}$ до $\lim_{t \to 7^-} y(t) = -\infty$. Область значений: $(-\infty, -16/15]$.

2. Для $t \in (7, \infty)$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to 7^+} y(t) = +\infty$ до $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$. Область значений: $(0, \infty)$.

3. Для $t \in (-7, -2]$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to -7^+} y(t) = +\infty$ до $y(-2) = \frac{24 \cdot (-2)}{4 - 49} = \frac{-48}{-45} = \frac{16}{15}$. Область значений: $[16/15, \infty)$.

4. Для $t \in (-\infty, -7)$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to -\infty} y(t) = 0$ до $\lim_{t \to -7^-} y(t) = -\infty$. Область значений: $(-\infty, 0)$.

Объединяя все найденные диапазоны для $x \neq 0$, получаем: $((-\infty, -16/15] \cup (0, \infty)) \cup ([16/15, \infty) \cup (-\infty, 0))$. Это объединение дает $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, то есть все действительные числа, кроме нуля: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Так как при $x=0$ мы получили значение $y(0)=0$, то, добавив это значение к найденному множеству, получаем, что область значений исходной функции — это все действительные числа.

Ответ: Упрощенное выражение: $y = \frac{24x(x^2+1)}{x^4 - 47x^2 + 1}$. Область значений функции: $E(y) = \mathbb{R}$.