Номер 1.23, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.23, страница 12.
№1.23 (с. 12)
Условие. №1.23 (с. 12)
скриншот условия

1.23 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то функция:
а) $\varphi(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ чётная;
б) $\Psi(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ нечётная.
Решение 1. №1.23 (с. 12)


Решение 2. №1.23 (с. 12)

Решение 3. №1.23 (с. 12)

Решение 4. №1.23 (с. 12)
а)
Для того чтобы доказать, что функция $φ(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $φ(-x) = φ(x)$.
Первое условие следует из постановки задачи. Функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ число $(-x)$ также принадлежит $X$. Это означает, что область определения $X$ симметрична относительно начала координат. Поскольку функция $φ(x)$ определена на том же множестве $X$, ее область определения также симметрична.
Проверим второе условие. Найдем значение $φ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:
$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2}$
Так как $f(-(-x)) = f(x)$, мы можем переписать это выражение следующим образом:
$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2}$
Поскольку сложение коммутативно ($a+b=b+a$), то $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x)$. Следовательно:
$φ(-x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = φ(x)$
Таким образом, равенство $φ(-x) = φ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения четной функции выполнены, функция $φ(x)$ является четной.
Ответ: Доказано, что функция $φ(x)$ является четной.
б)
Для того чтобы доказать, что функция $ψ(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$.
Как и в пункте а), область определения $X$ является симметричной, что удовлетворяет первому условию.
Проверим второе условие. Найдем значение $ψ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:
$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2}$
Учитывая, что $f(-(-x)) = f(x)$, получаем:
$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2}$
Чтобы сравнить это выражение с $-ψ(x)$, вынесем знак минус из числителя:
$ψ(-x) = - \frac{-(f(-x) - f(x))}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
Выражение в дроби $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является исходной функцией $ψ(x)$. Следовательно:
$ψ(-x) = -ψ(x)$
Таким образом, равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения нечетной функции выполнены, функция $ψ(x)$ является нечетной.
Ответ: Доказано, что функция $ψ(x)$ является нечетной.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.23 расположенного на странице 12 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.23 (с. 12), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.