Номер 1.23, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.23, страница 12.

Условие.

1.23 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то функция:

а) $\varphi(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ чётная;

б) $\Psi(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ нечётная.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $φ(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $φ(-x) = φ(x)$.

Первое условие следует из постановки задачи. Функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ число $(-x)$ также принадлежит $X$. Это означает, что область определения $X$ симметрична относительно начала координат. Поскольку функция $φ(x)$ определена на том же множестве $X$, ее область определения также симметрична.

Проверим второе условие. Найдем значение $φ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:

$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2}$

Так как $f(-(-x)) = f(x)$, мы можем переписать это выражение следующим образом:

$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2}$

Поскольку сложение коммутативно ($a+b=b+a$), то $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x)$. Следовательно:

$φ(-x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = φ(x)$

Таким образом, равенство $φ(-x) = φ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения четной функции выполнены, функция $φ(x)$ является четной.

Ответ: Доказано, что функция $φ(x)$ является четной.

б)

Для того чтобы доказать, что функция $ψ(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$.

Как и в пункте а), область определения $X$ является симметричной, что удовлетворяет первому условию.

Проверим второе условие. Найдем значение $ψ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:

$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2}$

Учитывая, что $f(-(-x)) = f(x)$, получаем:

$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2}$

Чтобы сравнить это выражение с $-ψ(x)$, вынесем знак минус из числителя:

$ψ(-x) = - \frac{-(f(-x) - f(x))}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Выражение в дроби $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является исходной функцией $ψ(x)$. Следовательно:

$ψ(-x) = -ψ(x)$

Таким образом, равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения нечетной функции выполнены, функция $ψ(x)$ является нечетной.

Ответ: Доказано, что функция $ψ(x)$ является нечетной.