Страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.23 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то функция:

а) $\varphi(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ чётная;

б) $\Psi(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ нечётная.

а)

Для того чтобы доказать, что функция $φ(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ является четной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $φ(-x) = φ(x)$.

Первое условие следует из постановки задачи. Функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ число $(-x)$ также принадлежит $X$. Это означает, что область определения $X$ симметрична относительно начала координат. Поскольку функция $φ(x)$ определена на том же множестве $X$, ее область определения также симметрична.

Проверим второе условие. Найдем значение $φ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:

$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2}$

Так как $f(-(-x)) = f(x)$, мы можем переписать это выражение следующим образом:

$φ(-x) = \frac{f(-x) + f(x)}{2}$

Поскольку сложение коммутативно ($a+b=b+a$), то $f(-x) + f(x) = f(x) + f(-x)$. Следовательно:

$φ(-x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = φ(x)$

Таким образом, равенство $φ(-x) = φ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения четной функции выполнены, функция $φ(x)$ является четной.

Ответ: Доказано, что функция $φ(x)$ является четной.

б)

Для того чтобы доказать, что функция $ψ(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является нечетной, необходимо проверить выполнение двух условий:
1) Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.
2) Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$.

Как и в пункте а), область определения $X$ является симметричной, что удовлетворяет первому условию.

Проверим второе условие. Найдем значение $ψ(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в определение функции:

$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2}$

Учитывая, что $f(-(-x)) = f(x)$, получаем:

$ψ(-x) = \frac{f(-x) - f(x)}{2}$

Чтобы сравнить это выражение с $-ψ(x)$, вынесем знак минус из числителя:

$ψ(-x) = - \frac{-(f(-x) - f(x))}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Выражение в дроби $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ является исходной функцией $ψ(x)$. Следовательно:

$ψ(-x) = -ψ(x)$

Таким образом, равенство $ψ(-x) = -ψ(x)$ выполняется для любого $x \in X$. Поскольку оба условия определения нечетной функции выполнены, функция $ψ(x)$ является нечетной.

Ответ: Доказано, что функция $ψ(x)$ является нечетной.

1.24 Докажите, что если функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$ и для любого $x \in X$ число $(-x) \in X$, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве $X$ и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$, и для любого $x \in X$ справедливо, что $(-x) \in X$. Требуется доказать, что функцию $f(x)$ можно представить в виде суммы двух функций, $g(x)$ и $h(x)$, определенных на том же множестве $X$, где $g(x)$ — чётная, а $h(x)$ — нечётная.

Предположим, что такое представление существует: $f(x) = g(x) + h(x)$

По определению чётной и нечётной функций:

• $g(x)$ является чётной, если $g(-x) = g(x)$ для всех $x \in X$.
• $h(x)$ является нечётной, если $h(-x) = -h(x)$ для всех $x \in X$.

Рассмотрим значение исходной функции в точке $-x$. Так как $x \in X$, то и $-x \in X$, и мы можем написать: $f(-x) = g(-x) + h(-x)$

Применяя свойства чётности и нечётности для $g(x)$ и $h(x)$, получаем: $f(-x) = g(x) - h(x)$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений относительно функций $g(x)$ и $h(x)$: $$ \begin{cases} g(x) + h(x) = f(x) \\ g(x) - h(x) = f(-x) \end{cases} $$

Решим эту систему. Сложив первое и второе уравнения, получим: $(g(x) + h(x)) + (g(x) - h(x)) = f(x) + f(-x)$ $2g(x) = f(x) + f(-x)$ $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $(g(x) + h(x)) - (g(x) - h(x)) = f(x) - f(-x)$ $2h(x) = f(x) - f(-x)$ $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

Мы нашли явный вид для функций $g(x)$ и $h(x)$. Теперь необходимо проверить, что они действительно являются чётной и нечётной, определены на множестве $X$ и их сумма равна $f(x)$.

Проверка свойств найденных функций

1. Определенность на X. Поскольку $f(x)$ определена на $X$ и для любого $x \in X$ также $(-x) \in X$, то $f(-x)$ тоже определена. Следовательно, комбинации $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ и $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ определены для всех $x \in X$.

2. Чётность функции $g(x)$. Проверим выполнение равенства $g(-x) = g(x)$: $g(-x) = \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) + f(x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = g(x)$. Условие выполняется, значит $g(x)$ — чётная функция.

3. Нечётность функции $h(x)$. Проверим выполнение равенства $h(-x) = -h(x)$: $h(-x) = \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = - \frac{f(x) - f(-x)}{2} = -h(x)$. Условие выполняется, значит $h(x)$ — нечётная функция.

4. Проверка суммы. Убедимся, что $g(x) + h(x) = f(x)$: $g(x) + h(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)}{2} = \frac{2f(x)}{2} = f(x)$. Равенство верно.

Таким образом, мы доказали, что любую функцию, определённую на симметричном относительно нуля множестве, можно представить как сумму чётной и нечётной функций.

Ответ: Да, такую функцию можно представить в виде суммы двух функций. Чётная составляющая этой функции будет $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$, а нечётная составляющая — $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.

1.25 Представьте функцию $y = 2^x$, определённую на всей числовой оси, в виде суммы чётной и нечётной функции.

Любую функцию $f(x)$, определённую на симметричной относительно начала координат области (в данном случае на всей числовой оси), можно единственным образом представить в виде суммы чётной функции $g(x)$ и нечётной функции $h(x)$:

$f(x) = g(x) + h(x)$

Чётная и нечётная составляющие функции $f(x)$ находятся по следующим формулам:

Чётная часть: $g(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$

Нечётная часть: $h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$

В нашем случае дана функция $y(x) = 2^x$.

Найдём значение функции для $-x$:

$y(-x) = 2^{-x}$

Теперь подставим $y(x)$ и $y(-x)$ в формулы для нахождения чётной и нечётной частей.

Чётная составляющая функции, назовем её $g(x)$:

$g(x) = \frac{y(x) + y(-x)}{2} = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$

Проверим, является ли функция $g(x)$ чётной, подставив $-x$ вместо $x$:

$g(-x) = \frac{2^{-x} + 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} + 2^x}{2} = g(x)$. Так как $g(-x) = g(x)$, функция является чётной.

Нечётная составляющая функции, назовем её $h(x)$:

$h(x) = \frac{y(x) - y(-x)}{2} = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$

Проверим, является ли функция $h(x)$ нечётной:

$h(-x) = \frac{2^{-x} - 2^{-(-x)}}{2} = \frac{2^{-x} - 2^x}{2} = - \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = -h(x)$. Так как $h(-x) = -h(x)$, функция является нечётной.

Таким образом, мы представили исходную функцию $y = 2^x$ в виде суммы чётной и нечётной функций:

$2^x = g(x) + h(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$

Проверим, что сумма этих двух функций действительно равна исходной функции:

$\frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2^x + 2^{-x} + 2^x - 2^{-x}}{2} = \frac{2 \cdot 2^x}{2} = 2^x$.

Равенство выполняется, следовательно, разложение найдено верно.

Ответ: $2^x = \frac{2^x + 2^{-x}}{2} + \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$, где чётная часть — это функция $g(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{2}$, а нечётная часть — это функция $h(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{2}$.

1.26 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух чётных функций есть чётная функция на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

Пусть даны две чётные функции $f(x)$ и $g(x)$ с областями определения $D(f)$ и $D(g)$ соответственно.

По определению, функция $h(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(h)$ выполняются два условия:
1. Область определения $D(h)$ симметрична относительно нуля (т.е. если $x \in D(h)$, то и $-x \in D(h)$).
2. Выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля. Общая часть (пересечение) областей определения — это множество $D = D(f) \cap D(g)$. Докажем, что это множество также симметрично.
Пусть $x \in D$. Это означает, что $x \in D(f)$ и $x \in D(g)$. Так как $D(f)$ и $D(g)$ — симметричные множества, то из $x \in D(f)$ следует $-x \in D(f)$, а из $x \in D(g)$ следует $-x \in D(g)$. Следовательно, $-x$ принадлежит обоим множествам, а значит и их пересечению: $-x \in D(f) \cap D(g)$, то есть $-x \in D$.
Таким образом, общая область определения $D$ для суммы, разности и произведения является симметричной.

Теперь докажем утверждение для каждой из операций.

Сумма

Рассмотрим функцию $s(x) = f(x) + g(x)$. Её область определения — $D$. Мы уже показали, что она симметрична. Проверим второе условие чётности:
$s(-x) = f(-x) + g(-x)$
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставив это в выражение, получим:
$s(-x) = f(x) + g(x) = s(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $s(x)$ является чётной.
Ответ: Сумма двух чётных функций есть чётная функция.

Разность

Рассмотрим функцию $d(x) = f(x) - g(x)$. Её область определения — $D$, которая симметрична. Проверим второе условие чётности:
$d(-x) = f(-x) - g(-x)$
Используя свойство чётности функций $f(x)$ и $g(x)$, имеем $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Тогда:
$d(-x) = f(x) - g(x) = d(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $d(x)$ является чётной.
Ответ: Разность двух чётных функций есть чётная функция.

Произведение

Рассмотрим функцию $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Её область определения — $D$, которая симметрична. Проверим второе условие чётности:
$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Поскольку $f(x)$ и $g(x)$ чётные, $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Следовательно:
$p(-x) = f(x) \cdot g(x) = p(x)$
Оба условия выполняются, значит, функция $p(x)$ является чётной.
Ответ: Произведение двух чётных функций есть чётная функция.

Частное

Рассмотрим функцию $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$. Её область определения $D_q = \{x \in D | g(x) \neq 0\}$.
Сначала докажем, что область определения $D_q$ симметрична. Пусть $x \in D_q$. Это значит, что $x \in D$ и $g(x) \neq 0$. Мы уже знаем, что $D$ — симметричное множество, поэтому $-x \in D$. Так как $g(x)$ — чётная функция, то $g(-x) = g(x)$. Поскольку $g(x) \neq 0$, то и $g(-x) \neq 0$. Таким образом, точка $-x$ также принадлежит области определения $D_q$, и эта область симметрична.
Теперь проверим второе условие чётности для $q(x)$:
$q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$
Используя свойство чётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$q(-x) = \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $q(x)$ является чётной.
Ответ: Частное двух чётных функций есть чётная функция.

1.27* a) Выясните, чётной или нечётной функцией является сумма, разность, произведение и частное двух нечётных функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

б) Выясните, является ли чётной или нечётной функцией сумма, разность, произведение и частное чётной и нечётной функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

а)

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Их общая область определения $D$ является симметричной относительно нуля. По определению нечётной функции, для любого $x \in D$ выполняются равенства:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.

Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$S(-x) = f(-x) + g(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -S(x)$.

Поскольку $S(-x) = -S(x)$, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.

Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$R(-x) = f(-x) - g(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x) = -(f(x) - g(x)) = -R(x)$.

Поскольку $R(-x) = -R(x)$, разность двух нечётных функций является нечётной функцией.

Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = P(x)$.

Поскольку $P(-x) = P(x)$, произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, где $g(x) \neq 0$. Область определения функции $Q(x)$ также симметрична. Найдём значение функции в точке $-x$:

$Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = Q(x)$.

Поскольку $Q(-x) = Q(x)$, частное двух нечётных функций является чётной функцией.

Ответ: Сумма и разность двух нечётных функций являются нечётными функциями; произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями.

б)

Пусть $f(x)$ — чётная функция, а $g(x)$ — нечётная функция. Их общая область определения $D$ является симметричной. По определению, для любого $x \in D$ выполняются равенства:

$f(-x) = f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.

Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$S(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) - g(x)$.

В общем случае $S(-x)$ не равно ни $S(x)$, ни $-S(x) = -f(x) - g(x)$ (кроме тривиальных случаев, когда $f(x)=0$ или $g(x)=0$). Следовательно, сумма чётной и нечётной функций, как правило, является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$R(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$.

Аналогично сумме, в общем случае $R(-x)$ не равно ни $R(x)$, ни $-R(x) = -f(x) + g(x)$. Следовательно, разность чётной и нечётной функций является функцией общего вида.

Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -P(x)$.

Поскольку $P(-x) = -P(x)$, произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $g(x) \neq 0$) или $Q(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ (где $f(x) \neq 0$).

В первом случае: $Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} = -Q(x)$.

Во втором случае: $Q(-x) = \frac{g(-x)}{f(-x)} = \frac{-g(x)}{f(x)} = -\frac{g(x)}{f(x)} = -Q(x)$.

В обоих случаях частное чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Ответ: Сумма и разность чётной и нечётной функций в общем случае не являются ни чётными, ни нечётными (являются функциями общего вида); произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.