Страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.5° Что такое:

а) область существования функции;

б) область определения функции;

в) область изменения функции?

а) область существования функции
Область существования функции — это множество всех тех значений аргумента (независимой переменной), при которых данная функция имеет смысл, то есть ее значение может быть вычислено. В современной математической терминологии этот термин, как правило, является полным синонимом термина «область определения функции», который рассматривается в следующем пункте.

Например, для функции $f(x) = \sqrt{x}$ выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только для неотрицательных чисел. Следовательно, областью существования (и областью определения) этой функции является множество всех $x$ таких, что $x \geq 0$, или в виде интервала $x \in [0, +\infty)$.

Ответ: Область существования функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция определена. В большинстве случаев является синонимом области определения.

б) область определения функции
Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это фундаментальное понятие в анализе, которое обозначает множество всех допустимых значений независимой переменной $x$ (аргумента), для которых функция $y = f(x)$ задана и принимает конкретное действительное значение.

При нахождении области определения для функции, заданной аналитически (формулой), необходимо исключить значения аргумента, которые приводят к математически некорректным операциям. Основные из них:
• Деление на ноль: для функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ необходимо, чтобы знаменатель был не равен нулю, то есть $h(x) \neq 0$.
• Извлечение корня четной степени из отрицательного числа: для функции вида $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $g(x) \geq 0$.
• Вычисление логарифма от неположительного числа: для функции вида $f(x) = \log_a(g(x))$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго положительным, то есть $g(x) > 0$.

Пример: найти область определения функции $y = \frac{\ln(x+3)}{\sqrt{1-x}}$.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно:
1. Аргумент логарифма был положителен: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
2. Выражение под корнем в знаменателе было строго положительным (т.к. корень в знаменателе): $1-x > 0 \implies x < 1$.
Пересечением этих двух условий является интервал $(-3; 1)$. Таким образом, область определения $D(y) = (-3; 1)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых вычисление значения функции $f(x)$ возможно и результат является действительным числом.

в) область изменения функции
Область изменения функции, чаще называемая областью значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$), представляет собой множество всех возможных значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (то есть сама функция $f(x)$), когда ее аргумент $x$ пробегает всю свою область определения.

Если представить функцию как «преобразующее устройство», которое на вход получает числа из области определения, то область значений — это все числа, которые могут получиться на выходе этого устройства.

Нахождение области значений часто является более сложной задачей, чем нахождение области определения, и может требовать исследования функции на непрерывность, монотонность, экстремумы и поведение на границах области определения.

Примеры:
• Для функции $y = x^2 + 1$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, область значений $E(y) = [1; +\infty)$.
• Для функции $y = \sin(x) - 2$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Известно, что значения синуса лежат в отрезке $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(x) \le 1$. Тогда, вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем $-1 - 2 \le \sin(x) - 2 \le 1 - 2$, что равносильно $-3 \le y \le -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3; -1]$.

Ответ: Область изменения (значений) функции — это множество всех значений, которые принимает сама функция $y$ при всех допустимых значениях ее аргумента $x$.

1.6° Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$. В каком случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху; ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры.

ограничена сверху:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. Это означает, что все значения функции не превышают некоторого числа $M$. Такое число $M$ называют верхней гранью (или верхней границей) функции на множестве $X$. Графически это значит, что весь график функции лежит ниже некоторой горизонтальной прямой $y = M$.

Пример: функция $y = 1 - x^2$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $1 - x^2 \le 1$. Таким образом, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $f(x) \le 1$. Это означает, что функция ограничена сверху, и число $M=1$ является одной из ее верхних граней.

Ответ:

ограничена снизу:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Это означает, что все значения функции не меньше некоторого числа $m$. Такое число $m$ называют нижней гранью (или нижней границей) функции на множестве $X$. Графически это значит, что весь график функции лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y = m$.

Пример: функция $y = |x| + 2$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Так как по определению модуля $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 2 \ge 2$. Таким образом, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $f(x) \ge 2$. Это означает, что функция ограничена снизу, и число $m=2$ является одной из ее нижних граней.

Ответ:

ограничена:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной на множестве $X$, если она на этом множестве ограничена и сверху, и снизу. Другими словами, существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.
Это определение эквивалентно следующему: функция $f(x)$ ограничена на множестве $X$, если существует такое положительное число $C > 0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.
Графически это означает, что весь график функции целиком расположен в полосе между двумя горизонтальными прямыми $y = m$ и $y = M$.

Пример: функция $y = \sin(x)$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Известно, что для любого действительного числа $x$ значения функции $\sin(x)$ лежат в диапазоне от -1 до 1 включительно, то есть $-1 \le \sin(x) \le 1$. В данном случае можно взять $m=-1$ и $M=1$. Так как функция ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной. Используя второе определение, можно сказать, что $|\sin(x)| \le 1$, где $C=1$.

Ответ:

1.7 Докажите, что функция $y = 1-x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$.

Чтобы доказать, что функция $y = 1 - x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$, необходимо показать, что существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x \in [-1; 1]$ выполняется двойное неравенство $m \le y(x) \le M$.

Данная функция является линейной. Ее производная $y' = (1-x)' = -1$. Так как производная отрицательна на всей числовой оси, функция является монотонно убывающей.

Для монотонной функции на замкнутом отрезке (каковым является $[-1; 1]$), ее наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах этого отрезка.

Найдем значения функции на концах отрезка:

При $x = -1$ (левая граница):
$y(-1) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

При $x = 1$ (правая граница):
$y(1) = 1 - 1 = 0$.

Поскольку функция монотонно убывает, ее наибольшее значение на отрезке $[-1; 1]$ равно $2$, а наименьшее — $0$.

Таким образом, для любого $x \in [-1; 1]$ справедливо неравенство $0 \le 1 - x \le 2$.

Мы нашли числа $m=0$ и $M=2$, которые ограничивают функцию снизу и сверху соответственно на заданном множестве. Следовательно, по определению, функция $y = 1 - x$ ограничена на множестве $X = [-1; 1]$.

Ответ: Функция $y=1-x$ на множестве $X=[-1; 1]$ является ограниченной, так как для любого $x$ из этого множества выполняется неравенство $0 \le y \le 2$.

Найдите область определения функции:

1.8 a) $y = \sqrt{x - 1}$;

б) $y = \sqrt[3]{x + 1}$;

в) $y = \sqrt{x^2 - 1}$;

г) $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$;

д) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}};$

е) $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt{x - 1}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четной степени (квадратный) из отрицательного числа не определен в множестве действительных чисел.
Запишем и решим соответствующее неравенство:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$
Таким образом, область определения функции — это все числа, большие или равные 1.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt[3]{x + 1}$ корень является нечетной степени (кубический). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю.
Следовательно, никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.
Область определения — все действительные числа.
Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) Функция $y = \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 + x}}$ имеет два ограничения:
1. Выражение под корнем в числителе должно быть неотрицательным: $x^2 - 1 \ge 0$.
2. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (положительным, так как под корнем, и не равным нулю, так как в знаменателе): $x^2 + x > 0$.
Необходимо решить систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ x^2 + x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 - 1 \ge 0 \implies (x-1)(x+1) \ge 0$. Корни $x=-1, x=1$. Это парабола ветвями вверх, значит решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x > 0 \implies x(x+1) > 0$. Корни $x=-1, x=0$. Это парабола ветвями вверх, значит решение: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Найдем пересечение двух полученных множеств: $(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ и $(-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.
Пересечение дает: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup [1, +\infty)$.

г) Функция $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$ является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций — знаменатель не может быть равен нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$x^2 \neq 4$
$x \neq \pm 2$
Таким образом, область определения — это все действительные числа, за исключением -2 и 2.
Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

д) В функции $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - x}}$ выражение $x^2 - x$ находится под знаком квадратного корня и в знаменателе. Это означает, что оно должно быть строго больше нуля.
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Корни $x=0$ и $x=1$ делят числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, +\infty)$. Выражение $x(x-1)$ положительно на крайних интервалах.
Следовательно, решение неравенства: $x < 0$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

е) Функция $y = \frac{\sqrt{x^2 + x}}{x + 4}$ имеет два ограничения:
1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным: $x^2 + x \ge 0$.
2. Знаменатель не должен равняться нулю: $x + 4 \neq 0$.
Решим первое условие: $x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$. Корни $x=0, x=-1$. Это парабола ветвями вверх, решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.
Решим второе условие: $x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$.
Теперь необходимо объединить эти условия: из множества $(-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$ нужно исключить точку $x = -4$.
Точка -4 принадлежит промежутку $(-\infty, -1]$, поэтому этот промежуток разбивается на два: $(-\infty, -4)$ и $(-4, -1]$. Промежуток $[0, +\infty)$ остается без изменений.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1] \cup [0, +\infty)$.

1.9 a) $y = \log_2 |x|;$

б) $y = |\log_2 x|;$

в) $y = \log_2 \text{tg } x;$

г) $y = 2^{\sqrt{x}};$

д) $y = \sqrt{2^x};$

е) $y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}.$

а) Область определения логарифмической функции — это множество всех значений аргумента, при которых выражение под знаком логарифма строго положительно. В данном случае аргументом является $|x|$, поэтому должно выполняться неравенство:

$|x| > 0$

Модуль любого числа, отличного от нуля, является положительным числом. Модуль нуля равен нулю. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Область определения данной функции определяется областью определения выражения, стоящего под знаком модуля, то есть функции $y = \log_2 x$. Знак модуля на область определения не влияет.

Для функции $y = \log_2 x$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x > 0$

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: $D(y) = (0; +\infty)$

в) Область определения данной функции задается двумя условиями:
1. Аргумент логарифма должен быть строго положителен: $\tg x > 0$.
2. Функция тангенса должна быть определена, то есть $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство $\tg x > 0$. Функция тангенса положительна в первой и третьей координатных четвертях. Учитывая периодичность тангенса (период равен $\pi$), решениями неравенства будут интервалы:

$\pi k < x < \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих интервалах условие $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ уже выполняется, так как концы интервалов не включены.

Ответ: $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$

г) Показательная функция $y = a^z$ определена для любого действительного показателя $z$. В данном случае основание степени равно 2, а показатель — $\sqrt{x}$. Следовательно, область определения всей функции совпадает с областью определения выражения в показателе степени.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$

д) Область определения функции $y = \sqrt{f(x)}$ задается условием $f(x) \ge 0$. В данном случае подкоренное выражение — это $2^x$.

Необходимо решить неравенство:

$2^x \ge 0$

Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a>1$ (в нашем случае $a=2$) принимает только строго положительные значения ($2^x > 0$) для любого действительного $x$. Следовательно, неравенство $2^x \ge 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$

е) Данная функция представляет собой сумму двух слагаемых, каждое из которых содержит квадратный корень. Область определения функции — это пересечение областей определения каждого слагаемого. Для существования квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 1 \ge 0 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно.
Из первого неравенства $x^2 \ge 1$, получаем $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.
Из второго неравенства $1 \ge x^2$, или $x^2 \le 1$, получаем $x \in [-1; 1]$.

Теперь найдем пересечение этих двух множеств. Единственные значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, — это $x = -1$ и $x = 1$. В этих точках оба подкоренных выражения равны нулю.

Ответ: $D(y) = \{-1; 1\}$

1.10 Найдите область изменения функции:

а) $y = \sqrt{1 - x^2};$

б) $y = \sqrt{1 - x^2}, X = \left[0; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

в) $y = \sqrt{1 - x^2}, X = \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right);$

г) $y = \frac{30}{\sqrt{100 - x^2}}, X = [-8; 1];$

д) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, X = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0\right);$

е) $y = \log_{2} \sqrt{x^2 - 1};$

ж) $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, X = \left[-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

з) $y = \log_{2} \sqrt{1 - x^2}.$

а)

Функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ определена, когда подкоренное выражение неотрицательно: $1 - x^2 \ge 0$. Это неравенство равносильно $x^2 \le 1$, что дает область определения $D(y) = [-1; 1]$.
Чтобы найти область изменения (множество значений) функции, проанализируем выражение $1 - x^2$. Поскольку $x \in [-1; 1]$, то $x^2$ принимает значения из отрезка $[0; 1]$.
Следовательно, выражение $1 - x^2$ принимает значения из отрезка $[1 - 1; 1 - 0] = [0; 1]$.
Так как функция квадратного корня является возрастающей, то для $t = 1 - x^2 \in [0; 1]$, значения $y = \sqrt{t}$ будут находиться в отрезке $[\sqrt{0}; \sqrt{1}]$, то есть $[0; 1]$.
Графиком функции является верхняя половина окружности $x^2+y^2=1$, что также показывает, что $y$ изменяется от 0 до 1.

Ответ: $E(y) = [0; 1]$.

б)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ на отрезке $X = [0; \frac{\sqrt{3}}{2}]$.
На этом отрезке функция $x^2$ является возрастающей. Значит, функция $1-x^2$ является убывающей, а функция $y = \sqrt{1-x^2}$ (как композиция возрастающей и убывающей) также является убывающей.
Чтобы найти область значений непрерывной монотонной функции на отрезке, достаточно найти её значения на концах этого отрезка.
При $x=0$: $y(0) = \sqrt{1 - 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
При $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
Поскольку функция убывает, её значения на отрезке $[0; \frac{\sqrt{3}}{2}]$ будут находиться в отрезке $[\frac{1}{2}; 1]$.

Ответ: $E(y) = [\frac{1}{2}; 1]$.

в)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$ на промежутке $X = [-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1)$.
На этом промежутке функция не является монотонной. На отрезке $[-\frac{\sqrt{3}}{2}; 0]$ она возрастает, а на полуинтервале $[0; 1)$ она убывает. Точка $x=0$ является точкой максимума.
Найдем значения функции в ключевых точках:
При $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $y(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$.
При $x = 0$: $y(0) = \sqrt{1 - 0^2} = 1$. Это максимальное значение функции.
Рассмотрим поведение функции при $x$, стремящемся к правому концу промежутка: при $x \to 1^-$, выражение $1 - x^2 \to 0^+$, следовательно $y = \sqrt{1 - x^2} \to 0$. Так как $x=1$ не входит в промежуток, значение 0 не достигается.
Объединяя результаты, получаем, что функция принимает все значения от 0 (не включая) до 1 (включая).

Ответ: $E(y) = (0; 1]$.

г)

Дана функция $y = \frac{30}{\sqrt{100 - x^2}}$ на отрезке $X = [-8; 1]$.
Рассмотрим сначала множество значений подкоренного выражения $100 - x^2$. На отрезке $x \in [-8; 1]$, выражение $x^2$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $64$ (при $x=-8$). Таким образом, $x^2 \in [0; 64]$.
Тогда выражение $100 - x^2$ принимает значения на отрезке $[100 - 64; 100 - 0] = [36; 100]$.
Следовательно, знаменатель $\sqrt{100 - x^2}$ принимает значения на отрезке $[\sqrt{36}; \sqrt{100}] = [6; 10]$.
Функция $y(z) = \frac{30}{z}$ является убывающей. Если ее аргумент $z = \sqrt{100-x^2}$ принимает значения из отрезка $[6; 10]$, то сама функция $y$ принимает значения из отрезка $[\frac{30}{10}; \frac{30}{6}] = [3; 5]$.

Ответ: $E(y) = [3; 5]$.

д)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ на интервале $X = (-\frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.
На интервале $(-1; 0)$ функция $x^2$ убывает, значит $1-x^2$ возрастает, $\sqrt{1-x^2}$ возрастает, и, следовательно, обратная ей функция $y(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ убывает.
Найдем предельные значения функции на концах интервала:
При $x \to -\frac{\sqrt{2}}{2}^+$ (справа): $y \to \frac{1}{\sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{1/2}} = \sqrt{2}$.
При $x \to 0^-$ (слева): $y \to \frac{1}{\sqrt{1 - 0^2}} = 1$.
Так как функция непрерывна и монотонно убывает на открытом интервале, ее область изменения — это открытый интервал между предельными значениями.

Ответ: $E(y) = (1; \sqrt{2})$.

е)

Для функции $y = \log_2 \sqrt{x^2 - 1}$ сначала найдем область определения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $\sqrt{x^2 - 1} > 0$, что эквивалентно $x^2 - 1 > 0$, или $x^2 > 1$. Отсюда $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
Пусть $t = \sqrt{x^2 - 1}$. Найдем множество значений, которые может принимать $t$.
При $x \to \pm\infty$, выражение $x^2 - 1 \to +\infty$, и $t \to +\infty$.
При $x \to 1^+$ или $x \to -1^-$, выражение $x^2 - 1 \to 0^+$, и $t \to 0^+$.
Таким образом, аргумент логарифма $t$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.
Функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Когда ее аргумент $t$ пробегает интервал $(0; +\infty)$, значение логарифма пробегает интервал $(-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

ж)

Дана функция $y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ на отрезке $X = [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$.
Рассмотрим множество значений знаменателя $\sqrt{1 - x^2}$. На отрезке $x \in [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$, выражение $x^2$ принимает значения от $0$ (при $x=0$) до $(\pm\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{3}{4}$. То есть, $x^2 \in [0; \frac{3}{4}]$.
Тогда $1 - x^2$ принимает значения из отрезка $[1 - \frac{3}{4}; 1 - 0] = [\frac{1}{4}; 1]$.
Знаменатель $\sqrt{1 - x^2}$ принимает значения из отрезка $[\sqrt{\frac{1}{4}}; \sqrt{1}] = [\frac{1}{2}; 1]$.
Так как функция $y(z) = \frac{1}{z}$ убывающая, то при $z \in [\frac{1}{2}; 1]$ значения функции $y$ будут находиться в отрезке $[\frac{1}{1}; \frac{1}{1/2}] = [1; 2]$.

Ответ: $E(y) = [1; 2]$.

з)

Для функции $y = \log_2 \sqrt{1 - x^2}$ найдем область определения: $\sqrt{1 - x^2} > 0$, что означает $1 - x^2 > 0$, или $x^2 < 1$. Отсюда $D(y) = (-1; 1)$.
Пусть $t = \sqrt{1 - x^2}$. Найдем множество значений $t$. На интервале $x \in (-1; 1)$, выражение $x^2$ принимает значения из промежутка $[0; 1)$.
Тогда $1 - x^2$ принимает значения из промежутка $(0; 1]$.
Следовательно, $t = \sqrt{1-x^2}$ принимает значения из промежутка $(0; 1]$.
Функция $y = \log_2 t$ является возрастающей. Когда ее аргумент $t$ пробегает промежуток $(0; 1]$, значение $y$ изменяется от $\lim_{t \to 0^+} \log_2 t = -\infty$ до $\log_2 1 = 0$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.

1.11* Какая из функций в предыдущем задании на области её определения является:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

Так как условие задачи 1.11* ссылается на "предыдущее задание", которое не приведено, для ответа на вопрос проанализируем набор типовых функций, которые могли быть в этом задании. Будем исследовать каждую функцию на ограниченность на ее естественной области определения.

Рассмотрим следующий набор функций:

• Линейные: $y = 3x - 2$ и $y = 5$ (постоянная функция).
• Квадратичные: $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 2x + 1$.
• Дробно-рациональная: $y = \frac{1}{x}$.
• Иррациональная: $y = \sqrt{x-1}$.
• Тригонометрические: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$.
• Показательные: $y = 2^x$ и $y = (1/2)^x$.
• Логарифмические: $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$.

Напомним определения. Функция $f(x)$ называется:

• ограниченной снизу на своей области определения $D$, если существует такое число $m$, что для любого $x \in D$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$;
• ограниченной сверху на своей области определения $D$, если существует такое число $M$, что для любого $x \in D$ выполняется неравенство $f(x) \le M$;
• ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

а) ограниченной снизу

Следующие функции из нашего списка являются ограниченными снизу:

• $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$. Таким образом, $y(x) \ge -1$ для всех $x$. Функция ограничена снизу.
• $y = \sqrt{x-1}$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно: $\sqrt{x-1} \ge 0$. Функция ограничена снизу.
• $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Область значений этих функций — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\sin x \ge -1$ и $\cos x \ge -1$. Обе функции ограничены снизу.
• $y = 2^x$ и $y = (1/2)^x$. Область значений показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) — это интервал $(0, +\infty)$. Значит, $y(x) > 0$ для всех $x$. Обе функции ограничены снизу (например, числом 0).
• $y = 5$. Это постоянная функция, ее значение всегда равно 5. Следовательно, $y(x) \ge 5$. Функция ограничена снизу.

Функции $y = 3x-2$, $y = -x^2+2x+1$, $y=1/x$, $y=\tan x$, $y=\log_3 x$ и $y=\log_{1/3} x$ не ограничены снизу, так как их множества значений простираются до $-\infty$.

Ответ: ограниченными снизу являются функции $y=x^2 - 4x + 3$, $y=\sqrt{x-1}$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=2^x$, $y=(1/2)^x$, $y=5$.

б) ограниченной сверху

Следующие функции из нашего списка являются ограниченными сверху:

• $y = -x^2 + 2x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее наибольшее значение достигается в вершине. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2$. Таким образом, $y(x) \le 2$ для всех $x$. Функция ограничена сверху.
• $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Так как их область значений $[-1, 1]$, то $\sin x \le 1$ и $\cos x \le 1$. Обе функции ограничены сверху.
• $y = 5$. Значение функции всегда равно 5, следовательно $y(x) \le 5$. Функция ограничена сверху.

Функции $y = 3x-2$, $y=x^2-4x+3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x-1}$, $y=\tan x$, $y=2^x$, $y=(1/2)^x$, $y=\log_3 x$ и $y=\log_{1/3} x$ не ограничены сверху, так как их множества значений простираются до $+\infty$.

Ответ: ограниченными сверху являются функции $y=-x^2 + 2x + 1$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=5$.

в) ограниченной

Ограниченными являются функции, которые ограничены и снизу, и сверху. Из анализа, проведенного в пунктах а) и б), мы можем заключить, что это:

• $y = \sin x$. Ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
• $y = \cos x$. Ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
• $y = 5$. Ограничена снизу и сверху числом 5.

Все остальные рассмотренные функции являются либо неограниченными, либо ограниченными только с одной стороны (сверху или снизу).

Ответ: ограниченными являются функции $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=5$.