Номер 1.6, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.6, страница 7.

Условие.

1.6° Пусть функция $y = f(x)$ определена на множестве $X$. В каком случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху; ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 4.

ограничена сверху:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной сверху на множестве $X$, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \le M$. Это означает, что все значения функции не превышают некоторого числа $M$. Такое число $M$ называют верхней гранью (или верхней границей) функции на множестве $X$. Графически это значит, что весь график функции лежит ниже некоторой горизонтальной прямой $y = M$.

Пример: функция $y = 1 - x^2$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $1 - x^2 \le 1$. Таким образом, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $f(x) \le 1$. Это означает, что функция ограничена сверху, и число $M=1$ является одной из ее верхних граней.

Ответ:

ограничена снизу:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$. Это означает, что все значения функции не меньше некоторого числа $m$. Такое число $m$ называют нижней гранью (или нижней границей) функции на множестве $X$. Графически это значит, что весь график функции лежит выше некоторой горизонтальной прямой $y = m$.

Пример: функция $y = |x| + 2$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Так как по определению модуля $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x| + 2 \ge 2$. Таким образом, для любого $x \in \mathbb{R}$ выполняется неравенство $f(x) \ge 2$. Это означает, что функция ограничена снизу, и число $m=2$ является одной из ее нижних граней.

Ответ:

ограничена:

Функция $y = f(x)$ называется ограниченной на множестве $X$, если она на этом множестве ограничена и сверху, и снизу. Другими словами, существуют такие числа $m$ и $M$, что для любого $x$ из множества $X$ выполняется двойное неравенство $m \le f(x) \le M$.
Это определение эквивалентно следующему: функция $f(x)$ ограничена на множестве $X$, если существует такое положительное число $C > 0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)| \le C$.
Графически это означает, что весь график функции целиком расположен в полосе между двумя горизонтальными прямыми $y = m$ и $y = M$.

Пример: функция $y = \sin(x)$ на множестве всех действительных чисел $X = \mathbb{R}$. Известно, что для любого действительного числа $x$ значения функции $\sin(x)$ лежат в диапазоне от -1 до 1 включительно, то есть $-1 \le \sin(x) \le 1$. В данном случае можно взять $m=-1$ и $M=1$. Так как функция ограничена и сверху, и снизу, она является ограниченной. Используя второе определение, можно сказать, что $|\sin(x)| \le 1$, где $C=1$.

Ответ: