Номер 1.4, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.4, страница 4.

Условие.

1.4 Даны элементарные функции: $f(x)=7^x$, $\varphi(x)=x^2$, $g(x)=\log_5 x.$

Запишите сложную функцию:

а) $f(\varphi(x));$

б) $\varphi(g(x));$

в) $f(g(x));$

г) $g(g(x));$

д) $g(\varphi(f(x)));$

е) $\varphi(g(f(x)));$

ж) $f(g(\varphi(x)));$

з) $f(g(f(x))).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для нахождения сложной функции $f(\phi(x))$ необходимо подставить функцию $\phi(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $f(x) = 7^x$ и $\phi(x) = x^2$.
Подставляем $\phi(x) = x^2$ в $f(x)$:
$f(\phi(x)) = f(x^2) = 7^{x^2}$.
Ответ: $7^{x^2}$.

б) Для нахождения сложной функции $\phi(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в функцию $\phi(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $\phi(x) = x^2$ и $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $\phi(x)$:
$\phi(g(x)) = \phi(\log_5 x) = (\log_5 x)^2$.
Ответ: $(\log_5 x)^2$.

в) Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $f(x)$:
$f(g(x)) = f(\log_5 x) = 7^{\log_5 x}$.
Ответ: $7^{\log_5 x}$.

г) Для нахождения сложной функции $g(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в саму себя вместо переменной $x$. Дана функция $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $g(x)$:
$g(g(x)) = g(\log_5 x) = \log_5(\log_5 x)$.
Ответ: $\log_5(\log_5 x)$.

д) Для нахождения сложной функции $g(\phi(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $\phi(f(x))$, а затем подставим результат в $g(x)$.
1. Находим $\phi(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $\phi(x) = x^2$.
$\phi(f(x)) = \phi(7^x) = (7^x)^2 = 7^{2x}$.
2. Подставляем полученный результат $7^{2x}$ в функцию $g(x) = \log_5 x$.
$g(\phi(f(x))) = g(7^{2x}) = \log_5(7^{2x})$.
Ответ: $\log_5(7^{2x})$.

е) Для нахождения сложной функции $\phi(g(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(f(x))$, а затем подставим результат в $\phi(x)$.
1. Находим $g(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(f(x)) = g(7^x) = \log_5(7^x)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(7^x)$ в функцию $\phi(x) = x^2$.
$\phi(g(f(x))) = \phi(\log_5(7^x)) = (\log_5(7^x))^2$.
Ответ: $(\log_5(7^x))^2$.

ж) Для нахождения сложной функции $f(g(\phi(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(\phi(x))$, а затем подставим результат в $f(x)$.
1. Находим $g(\phi(x))$. Даны $\phi(x) = x^2$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(\phi(x)) = g(x^2) = \log_5(x^2)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(x^2)$ в функцию $f(x) = 7^x$.
$f(g(\phi(x))) = f(\log_5(x^2)) = 7^{\log_5(x^2)}$.
Ответ: $7^{\log_5(x^2)}$.

з) Для нахождения сложной функции $f(g(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(f(x))$, а затем подставим результат в $f(x)$.
1. Находим $g(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(f(x)) = g(7^x) = \log_5(7^x)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(7^x)$ в функцию $f(x) = 7^x$.
$f(g(f(x))) = f(\log_5(7^x)) = 7^{\log_5(7^x)}$.
Ответ: $7^{\log_5(7^x)}$.