Номер 1.2, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.2, страница 4.

Условие.

1.2 Выпишите основные элементарные функции $f(x)$ и $g(x)$, с помощью которых задана сложная функция:

а)

$f(g(x)) = \sqrt{\lg x}$;

б)

$f(g(x)) = \ln x^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана сложная функция $f(g(x)) = \sqrt{\lg x}$. Сложная функция, или композиция функций, означает, что одна функция применяется к результату другой. В записи $f(g(x))$, функция $g(x)$ называется внутренней, а функция $f(x)$ — внешней. Чтобы разложить данную функцию на элементарные, нужно определить, какая операция выполняется первой, а какая — второй.
1. Первое действие, которое выполняется над переменной $x$ — это вычисление десятичного логарифма. Следовательно, это внутренняя функция: $g(x) = \lg x$.
2. Второе действие — это извлечение квадратного корня из результата первого действия (из $\lg x$). Следовательно, это внешняя функция, которая применяется к результату $g(x)$: $f(x) = \sqrt{x}$.
Проверим, собрав функции обратно: $f(g(x)) = f(\lg x) = \sqrt{\lg x}$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \lg x$.

б)

Дана сложная функция $f(g(x)) = \ln x^4$. Аналогично предыдущему пункту, определим внутреннюю и внешнюю функции.
1. Первое действие, которое выполняется над переменной $x$ — это возведение в четвертую степень. Это будет внутренняя функция: $g(x) = x^4$.
2. Второе действие — вычисление натурального логарифма от результата первого действия (от $x^4$). Это будет внешняя функция: $f(x) = \ln x$.
Проверим композицию: $f(g(x)) = f(x^4) = \ln(x^4)$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \ln x$, $g(x) = x^4$.