Страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.1° a) Сформулируйте определение функции.

б) Какую функцию называют сложной?

в) Перечислите основные элементарные функции.

г) Какие функции называют элементарными?

а) Сформулируйте определение функции.

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Функцией (или отображением) $f$ из множества $X$ во множество $Y$ называется правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие один и только один элемент $y$ из множества $Y$.

Это записывается как $y = f(x)$.
Элемент $x \in X$ называют независимой переменной или аргументом функции.
Элемент $y \in Y$, соответствующий данному $x$, называют зависимой переменной или значением функции.
Множество $X$ называют областью определения функции и обозначают $D(f)$.
Множество всех значений $y$, которые принимает функция, называют областью значений (или множеством значений) функции и обозначают $E(f)$.

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества.

б) Какую функцию называют сложной?

Сложной функцией (или композицией функций) называется функция, аргументом которой является другая функция.

Пусть функция $y$ зависит от переменной $u$, то есть $y = f(u)$, а переменная $u$, в свою очередь, является функцией от переменной $x$, то есть $u = g(x)$. Тогда зависимость $y$ от $x$ является сложной функцией, заданной формулой $y = f(g(x))$. В этой записи функцию $f$ называют внешней, а функцию $g$ — внутренней.

Например, функция $y = \sin(x^2)$ является сложной. Здесь внешняя функция — это $f(u) = \sin u$, а внутренняя — $g(x) = x^2$.

Ответ: Сложной функцией называют функцию вида $y = f(g(x))$, то есть функцию от функции.

в) Перечислите основные элементарные функции.

К основным элементарным функциям относят следующие:

• Степенная функция: $y = x^{\alpha}$, где $\alpha$ — любое действительное число.
• Показательная функция: $y = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Логарифмическая функция: $y = \log_a x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Тригонометрические функции: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$.
• Обратные тригонометрические функции: $y = \arcsin x$, $y = \arccos x$, $y = \arctan x$, $y = \operatorname{arccot} x$.
• Постоянная функция (константа): $y=c$.

Ответ: Основные элементарные функции — это степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

г) Какие функции называют элементарными?

Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и операции композиции (взятия функции от функции).

Например, многочлены (вида $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$) и рациональные функции (отношения двух многочленов) являются элементарными. Функция $y = \frac{\ln(x^2+1) - 5\sin x}{e^x + \cos(3x)}$ также является примером элементарной функции, так как она построена из основных элементарных функций с помощью арифметических действий и композиций.

Ответ: Элементарными называют функции, получаемые из основных элементарных функций за конечное число арифметических операций и композиций.

1.2 Выпишите основные элементарные функции $f(x)$ и $g(x)$, с помощью которых задана сложная функция:

$f(g(x)) = \sqrt{\lg x}$;

$f(g(x)) = \ln x^4$.

а)

Дана сложная функция $f(g(x)) = \sqrt{\lg x}$. Сложная функция, или композиция функций, означает, что одна функция применяется к результату другой. В записи $f(g(x))$, функция $g(x)$ называется внутренней, а функция $f(x)$ — внешней. Чтобы разложить данную функцию на элементарные, нужно определить, какая операция выполняется первой, а какая — второй.
1. Первое действие, которое выполняется над переменной $x$ — это вычисление десятичного логарифма. Следовательно, это внутренняя функция: $g(x) = \lg x$.
2. Второе действие — это извлечение квадратного корня из результата первого действия (из $\lg x$). Следовательно, это внешняя функция, которая применяется к результату $g(x)$: $f(x) = \sqrt{x}$.
Проверим, собрав функции обратно: $f(g(x)) = f(\lg x) = \sqrt{\lg x}$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \lg x$.

б)

Дана сложная функция $f(g(x)) = \ln x^4$. Аналогично предыдущему пункту, определим внутреннюю и внешнюю функции.
1. Первое действие, которое выполняется над переменной $x$ — это возведение в четвертую степень. Это будет внутренняя функция: $g(x) = x^4$.
2. Второе действие — вычисление натурального логарифма от результата первого действия (от $x^4$). Это будет внешняя функция: $f(x) = \ln x$.
Проверим композицию: $f(g(x)) = f(x^4) = \ln(x^4)$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \ln x$, $g(x) = x^4$.

1.3 Выпишите основные элементарные функции $f(x)$, $g(x)$ и $\varphi(x)$, с помощью которых задана сложная функция:

a) $f(g(\varphi(x))) = \sin \sqrt{x^3}$;

б) $f(g(\varphi(x))) = (\sqrt{\sin x})^3$.

а) $f(g(\phi(x))) = \sin\sqrt{x^3}$

Чтобы определить основные элементарные функции, из которых состоит данная сложная функция, необходимо проанализировать порядок выполнения операций. Композиция функций $f(g(\phi(x)))$ означает, что сначала к аргументу $x$ применяется функция $\phi$, затем к результату $\phi(x)$ применяется функция $g$, и, наконец, к результату $g(\phi(x))$ применяется функция $f$.

1. Внутренняя функция $\phi(x)$: Первое действие, которое выполняется над $x$ — это возведение в третью степень. Таким образом, внутренняя функция — это степенная функция $\phi(x) = x^3$.

2. Средняя функция $g(x)$: Следующее действие — это извлечение квадратного корня из результата предыдущего шага ($x^3$). Значит, средняя функция — это $g(u) = \sqrt{u}$.

3. Внешняя функция $f(x)$: Последнее действие — это вычисление синуса от результата предыдущего шага ($\sqrt{x^3}$). Следовательно, внешняя функция — это тригонометрическая функция $f(v) = \sin v$.

Проверим нашу композицию: $f(g(\phi(x))) = f(g(x^3)) = f(\sqrt{x^3}) = \sin\sqrt{x^3}$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = \sin x$, $g(x) = \sqrt{x}$, $\phi(x) = x^3$.

б) $f(g(\phi(x))) = (\sqrt{\sin x})^3$

Аналогично разложим на элементарные функции, следуя порядку операций.

1. Внутренняя функция $\phi(x)$: Первое действие, выполняемое над $x$ — это вычисление синуса. Таким образом, $\phi(x) = \sin x$.

2. Средняя функция $g(x)$: Следующее действие — извлечение квадратного корня из $\sin x$. Значит, $g(u) = \sqrt{u}$.

3. Внешняя функция $f(x)$: Последнее действие — возведение результата ($\sqrt{\sin x}$) в третью степень. Следовательно, $f(v) = v^3$.

Проверим композицию: $f(g(\phi(x))) = f(g(\sin x)) = f(\sqrt{\sin x}) = (\sqrt{\sin x})^3$. Это совпадает с исходной функцией.

Ответ: $f(x) = x^3$, $g(x) = \sqrt{x}$, $\phi(x) = \sin x$.

1.4 Даны элементарные функции: $f(x)=7^x$, $\varphi(x)=x^2$, $g(x)=\log_5 x.$

Запишите сложную функцию:

а) $f(\varphi(x));$

б) $\varphi(g(x));$

в) $f(g(x));$

г) $g(g(x));$

д) $g(\varphi(f(x)));$

е) $\varphi(g(f(x)));$

ж) $f(g(\varphi(x)));$

з) $f(g(f(x))).$

а) Для нахождения сложной функции $f(\phi(x))$ необходимо подставить функцию $\phi(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $f(x) = 7^x$ и $\phi(x) = x^2$.
Подставляем $\phi(x) = x^2$ в $f(x)$:
$f(\phi(x)) = f(x^2) = 7^{x^2}$.
Ответ: $7^{x^2}$.

б) Для нахождения сложной функции $\phi(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в функцию $\phi(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $\phi(x) = x^2$ и $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $\phi(x)$:
$\phi(g(x)) = \phi(\log_5 x) = (\log_5 x)^2$.
Ответ: $(\log_5 x)^2$.

в) Для нахождения сложной функции $f(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$. Даны функции $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $f(x)$:
$f(g(x)) = f(\log_5 x) = 7^{\log_5 x}$.
Ответ: $7^{\log_5 x}$.

г) Для нахождения сложной функции $g(g(x))$ необходимо подставить функцию $g(x)$ в саму себя вместо переменной $x$. Дана функция $g(x) = \log_5 x$.
Подставляем $g(x) = \log_5 x$ в $g(x)$:
$g(g(x)) = g(\log_5 x) = \log_5(\log_5 x)$.
Ответ: $\log_5(\log_5 x)$.

д) Для нахождения сложной функции $g(\phi(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $\phi(f(x))$, а затем подставим результат в $g(x)$.
1. Находим $\phi(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $\phi(x) = x^2$.
$\phi(f(x)) = \phi(7^x) = (7^x)^2 = 7^{2x}$.
2. Подставляем полученный результат $7^{2x}$ в функцию $g(x) = \log_5 x$.
$g(\phi(f(x))) = g(7^{2x}) = \log_5(7^{2x})$.
Ответ: $\log_5(7^{2x})$.

е) Для нахождения сложной функции $\phi(g(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(f(x))$, а затем подставим результат в $\phi(x)$.
1. Находим $g(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(f(x)) = g(7^x) = \log_5(7^x)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(7^x)$ в функцию $\phi(x) = x^2$.
$\phi(g(f(x))) = \phi(\log_5(7^x)) = (\log_5(7^x))^2$.
Ответ: $(\log_5(7^x))^2$.

ж) Для нахождения сложной функции $f(g(\phi(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(\phi(x))$, а затем подставим результат в $f(x)$.
1. Находим $g(\phi(x))$. Даны $\phi(x) = x^2$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(\phi(x)) = g(x^2) = \log_5(x^2)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(x^2)$ в функцию $f(x) = 7^x$.
$f(g(\phi(x))) = f(\log_5(x^2)) = 7^{\log_5(x^2)}$.
Ответ: $7^{\log_5(x^2)}$.

з) Для нахождения сложной функции $f(g(f(x)))$ вычисления производятся изнутри наружу. Сначала найдем $g(f(x))$, а затем подставим результат в $f(x)$.
1. Находим $g(f(x))$. Даны $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \log_5 x$.
$g(f(x)) = g(7^x) = \log_5(7^x)$.
2. Подставляем полученный результат $\log_5(7^x)$ в функцию $f(x) = 7^x$.
$f(g(f(x))) = f(\log_5(7^x)) = 7^{\log_5(7^x)}$.
Ответ: $7^{\log_5(7^x)}$.