Страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.15° a) Какую функцию называют: чётной; нечётной?

чётной
Функцию $y = f(x)$ называют чётной, если для любого значения $x$ из её области определения D(f) выполняется два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также принадлежит ей.
2. Значение функции в точке $-x$ равно значению функции в точке $x$. Математически это записывается как: $f(-x) = f(x)$.
Геометрически это свойство означает, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
Например, функция $y = x^2$ является чётной, так как её область определения — вся числовая прямая (симметрична), и $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Другой пример — $y = \cos(x)$, так как $\cos(-x) = \cos(x)$.
Ответ: Функцию $f(x)$ называют чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

нечётной
Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения D(f) выполняется два условия:
1. Область определения функции симметрична относительно нуля. Это означает, что если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также принадлежит ей.
2. Значение функции в точке $-x$ противоположно значению функции в точке $x$. Математически это записывается как: $f(-x) = -f(x)$.
Геометрически это свойство означает, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$).
Например, функция $y = x^3$ является нечётной, так как её область определения — вся числовая прямая (симметрична), и $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Другой пример — $y = \sin(x)$, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$.
Ответ: Функцию $f(x)$ называют нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1.16 Докажите чётность функции:

a) $y = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$;

б) $y = 7x^6 + 6x^4 - 5.$

Для доказательства чётности функции необходимо проверить выполнение двух условий:
1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ принадлежит ей).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = f(x)$.

а) $y = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$

1. Обозначим функцию как $y(x) = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$. Областью определения для степенных функций $x^4$, $x^2$ и для тригонометрической функции $\cos x$ является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$. Следовательно, область определения всей функции $D(y) = \mathbb{R}$. Это множество симметрично относительно нуля.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^4 - 5(-x)^2 + 8 \cos(-x)$

Используем свойства чётной степени ($(-a)^{2k} = a^{2k}$) и свойство чётности функции косинус ($\cos(-x) = \cos x$):

$(-x)^4 = x^4$

$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти значения в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = x^4 - 5x^2 + 8 \cos x$

Сравнив результат с исходной функцией, получаем, что $y(-x) = y(x)$.

Поскольку оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Чётность функции доказана.

б) $y = 7x^6 + 6x^4 - 5$

1. Обозначим функцию как $y(x) = 7x^6 + 6x^4 - 5$. Данная функция является многочленом, область определения которого — множество всех действительных чисел $D(y) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = 7(-x)^6 + 6(-x)^4 - 5$

Поскольку показатели степеней 6 и 4 являются чётными числами, то:

$(-x)^6 = x^6$

$(-x)^4 = x^4$

Подставим полученные выражения:

$y(-x) = 7x^6 + 6x^4 - 5$

Таким образом, $y(-x) = y(x)$.

Оба условия чётности выполнены, следовательно, функция является чётной. (Стоит отметить, что многочлен является чётной функцией тогда и только тогда, когда все входящие в него степени переменной $x$ являются чётными, что и наблюдается в данном случае: степени 6, 4 и 0).

Ответ: Чётность функции доказана.

1.17 Докажите нечётность функции:

а) $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$;

б) $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$.

Для доказательства нечётности функции $y = f(x)$ необходимо проверить выполнение двух условий:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$

Обозначим функцию как $f(x) = x^5 - 5x - 4 \sin x$.

1. Найдём область определения функции. Все слагаемые ($x^5$, $5x$ и $4 \sin x$) определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа). Эта область симметрична относительно нуля, так как если $x \in \mathbb{R}$, то и $-x \in \mathbb{R}$.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$ в уравнение функции:
$f(-x) = (-x)^5 - 5(-x) - 4 \sin(-x)$

Используем свойства нечётных степеней и нечётности функции синус: $(-a)^n = -a^n$ для нечётного $n$, и $\sin(-x) = -\sin x$.
$f(-x) = -x^5 + 5x - 4(-\sin x) = -x^5 + 5x + 4 \sin x$

Теперь вынесем знак минус за скобки, чтобы сравнить с исходной функцией:
$f(-x) = -(x^5 - 5x - 4 \sin x)$

Выражение в скобках в точности совпадает с исходной функцией $f(x)$. Таким образом, мы получили:
$f(-x) = -f(x)$

Оба условия нечётности функции выполнены.
Ответ: Функция $y = x^5 - 5x - 4 \sin x$ является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$

Обозначим функцию как $f(x) = 4x^7 - 5x^3 - 5x$.

1. Найдём область определения функции. Данная функция является многочленом, а многочлены определены для всех действительных чисел. Следовательно, область определения $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = 4(-x)^7 - 5(-x)^3 - 5(-x)$

Используем свойство нечётной степени: $(-a)^n = -a^n$ для нечётного $n$.
$f(-x) = 4(-x^7) - 5(-x^3) + 5x = -4x^7 + 5x^3 + 5x$

Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(4x^7 - 5x^3 - 5x)$

Выражение в скобках равно исходной функции $f(x)$. Таким образом, мы получили:
$f(-x) = -f(x)$

Оба условия нечётности функции выполнены.
Ответ: Функция $y = 4x^7 - 5x^3 - 5x$ является нечётной, что и требовалось доказать.

Определите, является ли чётной или нечётной функция (1.18–1.20):

1.18 а) $y = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$; б) $y = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$;

в) $y = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$; г) $y = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$.

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x)$ необходимо найти значение функции при аргументе $-x$, то есть $f(-x)$, и сравнить его с исходной функцией $f(x)$. Перед этим важно убедиться, что область определения функции симметрична относительно нуля.

• Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
• Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
• В остальных случаях функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $y = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$. Область определения функции $D(f)$ определяется условием $2x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^4 + 4}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 4}{2(-x^3)} = \frac{x^4 + 4}{-2x^3} = -\frac{x^4 + 4}{2x^3}$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

б) $y = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$. Знаменатель $x^2 + 8$ всегда больше нуля, так как $x^2 \ge 0$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; \infty)$, что является симметричным множеством. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 3(-x)}{(-x)^2 + 8} = \frac{-x^3 + 3x}{x^2 + 8} = \frac{-(x^3 - 3x)}{x^2 + 8} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $y = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$. Область определения задается условием $5x^3 - 3x \neq 0$, или $x(5x^2 - 3) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm\sqrt{\frac{3}{5}}$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем $f(-x)$, учитывая, что косинус — чётная функция, то есть $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = \frac{(-x)^4 - \cos(-x)}{5(-x)^3 - 3(-x)} = \frac{x^4 - \cos x}{-5x^3 + 3x} = \frac{x^4 - \cos x}{-(5x^3 - 3x)} = -\frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x} = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $y = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$. Область определения задается условием $3x^5 - x \neq 0$, или $x(3x^4 - 1) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем $f(-x)$, учитывая, что синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = \frac{5(-x)^3 + \sin(-x)}{3(-x)^5 - (-x)} = \frac{-5x^3 - \sin x}{-3x^5 + x} = \frac{-(5x^3 + \sin x)}{-(3x^5 - x)} = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

1.19 a) $y = |x - 4| + |x + 4|;$

б) $y = |x - 8| + |x + 8|;$

в) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 6x + 9};$

д) $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)} + \sqrt{(x + 3)(x - 2)};$

е) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 7)} + \sqrt{(x + 1)(x + 7)}.$

а) Для того чтобы раскрыть модули в выражении $y = |x - 4| + |x + 4|$, рассмотрим три случая, в зависимости от знака подмодульных выражений. Нули подмодульных выражений: $x = 4$ и $x = -4$. Эти точки делят числовую ось на три интервала.

1. При $x < -4$: оба выражения $x-4$ и $x+4$ отрицательны.
$y = -(x - 4) - (x + 4) = -x + 4 - x - 4 = -2x$.

2. При $-4 \le x < 4$: выражение $x-4$ отрицательно, а $x+4$ неотрицательно.
$y = -(x - 4) + (x + 4) = -x + 4 + x + 4 = 8$.

3. При $x \ge 4$: оба выражения $x-4$ и $x+4$ неотрицательны.
$y = (x - 4) + (x + 4) = x - 4 + x + 4 = 2x$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной.
Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -4 \\ 8, & \text{при } -4 \le x < 4 \\ 2x, & \text{при } x \ge 4 \end{cases}$

б) Решение аналогично пункту а). Дано выражение $y = |x - 8| + |x + 8|$. Нули подмодульных выражений: $x = 8$ и $x = -8$.

1. При $x < -8$: $y = -(x - 8) - (x + 8) = -x + 8 - x - 8 = -2x$.

2. При $-8 \le x < 8$: $y = -(x - 8) + (x + 8) = -x + 8 + x + 8 = 16$.

3. При $x \ge 8$: $y = (x - 8) + (x + 8) = x - 8 + x + 8 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -8 \\ 16, & \text{при } -8 \le x < 8 \\ 2x, & \text{при } x \ge 8 \end{cases}$

в) Упростим выражение $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 2x + 1}$. Заметим, что подкоренные выражения являются полными квадратами: $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ и $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-1)^2} = |x + 1| + |x - 1|$.
Далее решаем аналогично предыдущим пунктам. Нули подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = -1$.

1. При $x < -1$: $y = -(x + 1) - (x - 1) = -x - 1 - x + 1 = -2x$.

2. При $-1 \le x < 1$: $y = (x + 1) - (x - 1) = x + 1 - x + 1 = 2$.

3. При $x \ge 1$: $y = (x + 1) + (x - 1) = x + 1 + x - 1 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -1 \\ 2, & \text{при } -1 \le x < 1 \\ 2x, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

г) Упростим выражение $y = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$. Подкоренные выражения являются полными квадратами: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ и $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.
$y = \sqrt{(x+3)^2} + \sqrt{(x-3)^2} = |x + 3| + |x - 3|$.
Нули подмодульных выражений: $x = 3$ и $x = -3$.

1. При $x < -3$: $y = -(x + 3) - (x - 3) = -x - 3 - x + 3 = -2x$.

2. При $-3 \le x < 3$: $y = (x + 3) - (x - 3) = x + 3 - x + 3 = 6$.

3. При $x \ge 3$: $y = (x + 3) + (x - 3) = x + 3 + x - 3 = 2x$.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -3 \\ 6, & \text{при } -3 \le x < 3 \\ 2x, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$

д) Дана функция $y = \sqrt{(x - 3)(x + 2)} + \sqrt{(x + 3)(x - 2)}$. Для решения этой задачи найдем область определения функции. Функция определена, когда оба подкоренных выражения неотрицательны.

1. $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, \infty)$.

2. $(x + 3)(x - 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.

Область определения функции $y$ есть пересечение этих двух множеств:
$D(y) = ((-\infty, -2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, -3] \cup [2, \infty)) = (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Выражение можно также записать, раскрыв скобки: $y = \sqrt{x^2 - x - 6} + \sqrt{x^2 + x - 6}$. Дальнейшее упрощение выражения невозможно.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 - x - 6} + \sqrt{x^2 + x - 6}$ при $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

е) Дана функция $y = \sqrt{(x - 1)(x - 7)} + \sqrt{(x + 1)(x + 7)}$. Найдем область определения функции, требуя, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

1. $(x - 1)(x - 7) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$.

2. $(x + 1)(x + 7) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, \infty)$.

Область определения функции $y$ есть пересечение этих двух множеств:
$D(y) = ((-\infty, 1] \cup [7, \infty)) \cap ((-\infty, -7] \cup [-1, \infty)) = (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [7, \infty)$.
Выражение можно также записать, раскрыв скобки: $y = \sqrt{x^2 - 8x + 7} + \sqrt{x^2 + 8x + 7}$. Дальнейшее упрощение выражения невозможно.

Ответ: $y = \sqrt{x^2 - 8x + 7} + \sqrt{x^2 + 8x + 7}$ при $x \in (-\infty, -7] \cup [-1, 1] \cup [7, \infty)$.

1.20 a) $y = \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

б) $y = \frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 - 7x + 1} - \frac{x^2 - 5x + 1}{x^2 + 7x + 1}$

а) $y = \frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Сначала упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели дробей всегда положительны, так как дискриминанты квадратных трехчленов $x^2 - 3x + 8$ и $x^2 + 3x + 8$ отрицательны ($D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 < 0$), а старшие коэффициенты положительны. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Представим числители через знаменатели, чтобы выделить целую часть в каждой дроби:

$\frac{x^2 - 2x + 4}{x^2 - 3x + 8} = \frac{(x^2 - 3x + 8) + x - 4}{x^2 - 3x + 8} = 1 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8}$

$\frac{x^2 + 2x + 4}{x^2 + 3x + 8} = \frac{(x^2 + 3x + 8) - x - 4}{x^2 + 3x + 8} = 1 - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Тогда исходное выражение для $y$ принимает вид:

$y = \left(1 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8}\right) + \left(1 - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}\right) = 2 + \frac{x - 4}{x^2 - 3x + 8} - \frac{x + 4}{x^2 + 3x + 8}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$y = 2 + \frac{(x - 4)(x^2 + 3x + 8) - (x + 4)(x^2 - 3x + 8)}{(x^2 - 3x + 8)(x^2 + 3x + 8)}$

Раскроем скобки. Знаменатель: $(x^2+8-3x)(x^2+8+3x) = (x^2+8)^2 - (3x)^2 = x^4 + 16x^2 + 64 - 9x^2 = x^4 + 7x^2 + 64$.

Числитель дробной части: $(x^3+3x^2+8x - 4x^2-12x-32) - (x^3-3x^2+8x + 4x^2-12x+32) = (x^3 - x^2 - 4x - 32) - (x^3 + x^2 - 4x + 32) = -2x^2 - 64$.

Подставляем обратно в выражение для $y$:

$y = 2 + \frac{-2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2(x^4 + 7x^2 + 64) - 2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2x^4 + 14x^2 + 128 - 2x^2 - 64}{x^4 + 7x^2 + 64} = \frac{2x^4 + 12x^2 + 64}{x^4 + 7x^2 + 64}$.

Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $y = \frac{2(x^4 + 6x^2 + 32)}{x^4 + 7x^2 + 64}$.

Теперь найдем область значений функции. Сделаем замену $u = x^2$, где $u \ge 0$.

$y(u) = \frac{2u^2 + 12u + 64}{u^2 + 7u + 64}$

Найдем производную $y'(u)$ для исследования функции на монотонность:

$y'(u) = \frac{(4u + 12)(u^2 + 7u + 64) - (2u^2 + 12u + 64)(2u + 7)}{(u^2 + 7u + 64)^2}$

Числитель производной равен: $(4u^3 + 40u^2 + 340u + 768) - (4u^3 + 38u^2 + 212u + 448) = 2u^2 + 128u + 320 = 2(u^2 + 64u + 160)$.

Для $u \ge 0$ выражение $u^2 + 64u + 160$ всегда положительно (при $u=0$ оно равно 160, а вершина параболы $u = -32$ лежит вне рассматриваемого промежутка). Знаменатель производной также всегда положителен. Следовательно, $y'(u) > 0$ для всех $u \ge 0$.

Это означает, что функция $y(u)$ монотонно возрастает на промежутке $[0, \infty)$.

Минимальное значение функция принимает при $u = 0$ (что соответствует $x=0$):

$y_{min} = y(0) = \frac{2(0)^2 + 12(0) + 64}{0^2 + 7(0) + 64} = \frac{64}{64} = 1$.

Найдем предел функции при $u \to \infty$ (что соответствует $x \to \pm\infty$):

$\lim_{u \to \infty} \frac{2u^2 + 12u + 64}{u^2 + 7u + 64} = \lim_{u \to \infty} \frac{2 + 12/u + 64/u^2}{1 + 7/u + 64/u^2} = 2$.

Так как функция возрастает от 1 и асимптотически приближается к 2, ее область значений — это промежуток $[1, 2)$.

Ответ: Упрощенное выражение: $y = \frac{2x^4 + 12x^2 + 64}{x^4 + 7x^2 + 64}$. Область значений функции: $E(y) = [1, 2)$.

б) $y = \frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 - 7x + 1} - \frac{x^2 - 5x + 1}{x^2 + 7x + 1}$

Область определения функции — все действительные числа, кроме корней уравнений $x^2 - 7x + 1 = 0$ и $x^2 + 7x + 1 = 0$.

Для упрощения выражения заметим, что при $x \neq 0$ можно разделить числитель и знаменатель каждой дроби на $x$:

$y = \frac{x + 5 + 1/x}{x - 7 + 1/x} - \frac{x - 5 + 1/x}{x + 7 + 1/x}$

Сделаем замену $t = x + \frac{1}{x}$. Тогда выражение примет вид:

$y(t) = \frac{t+5}{t-7} - \frac{t-5}{t+7} = \frac{(t+5)(t+7) - (t-5)(t-7)}{(t-7)(t+7)}$

$y(t) = \frac{(t^2 + 12t + 35) - (t^2 - 12t + 35)}{t^2 - 49} = \frac{24t}{t^2 - 49}$

Выполним обратную замену $t = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2+1}{x}$:

$y = \frac{24\left(\frac{x^2+1}{x}\right)}{\left(\frac{x^2+1}{x}\right)^2 - 49} = \frac{\frac{24(x^2+1)}{x}}{\frac{(x^2+1)^2 - 49x^2}{x^2}} = \frac{24(x^2+1)}{x} \cdot \frac{x^2}{x^4+2x^2+1-49x^2} = \frac{24x(x^2+1)}{x^4 - 47x^2 + 1}$.

Это упрощенное выражение справедливо для $x \neq 0$. Проверим случай $x=0$ по исходной формуле: $y(0) = \frac{1}{1} - \frac{1}{1} = 0$. Упрощенное выражение также дает 0 при $x=0$, значит, оно верно для всех $x$ из области определения.

Теперь найдем область значений функции. Исследуем множество значений, которые может принимать замена $t = x + \frac{1}{x}$.

При $x > 0$, по неравенству о средних, $t = x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$. При $x < 0$, $t = -(|x| + \frac{1}{|x|}) \le -2$. Таким образом, область значений $t$ есть $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Исследуем функцию $y(t) = \frac{24t}{t^2 - 49}$ на этом множестве. Найдем ее производную:

$y'(t) = \frac{24(t^2 - 49) - 24t(2t)}{(t^2 - 49)^2} = \frac{24t^2 - 24 \cdot 49 - 48t^2}{(t^2 - 49)^2} = \frac{-24(t^2 + 49)}{(t^2 - 49)^2}$.

Поскольку $t^2+49 > 0$ и $(t^2-49)^2 \ge 0$, то $y'(t) < 0$ для всех $t$ из области определения $y(t)$. Функция $y(t)$ монотонно убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Рассмотрим поведение функции на границах и асимптотах для $t \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$:

1. Для $t \in [2, 7)$: $y(t)$ убывает от $y(2) = \frac{24 \cdot 2}{4 - 49} = -\frac{48}{45} = -\frac{16}{15}$ до $\lim_{t \to 7^-} y(t) = -\infty$. Область значений: $(-\infty, -16/15]$.

2. Для $t \in (7, \infty)$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to 7^+} y(t) = +\infty$ до $\lim_{t \to \infty} y(t) = 0$. Область значений: $(0, \infty)$.

3. Для $t \in (-7, -2]$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to -7^+} y(t) = +\infty$ до $y(-2) = \frac{24 \cdot (-2)}{4 - 49} = \frac{-48}{-45} = \frac{16}{15}$. Область значений: $[16/15, \infty)$.

4. Для $t \in (-\infty, -7)$: $y(t)$ убывает от $\lim_{t \to -\infty} y(t) = 0$ до $\lim_{t \to -7^-} y(t) = -\infty$. Область значений: $(-\infty, 0)$.

Объединяя все найденные диапазоны для $x \neq 0$, получаем: $((-\infty, -16/15] \cup (0, \infty)) \cup ([16/15, \infty) \cup (-\infty, 0))$. Это объединение дает $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$, то есть все действительные числа, кроме нуля: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Так как при $x=0$ мы получили значение $y(0)=0$, то, добавив это значение к найденному множеству, получаем, что область значений исходной функции — это все действительные числа.

Ответ: Упрощенное выражение: $y = \frac{24x(x^2+1)}{x^4 - 47x^2 + 1}$. Область значений функции: $E(y) = \mathbb{R}$.

1.21 На рисунке 1, а–г изображена часть графика функции $y=f(x)$. Постройте весь график, если известно, что эта функция чётная.

Для решения данной задачи используется свойство чётной функции. Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения справедливо равенство $f(-x) = f(x)$.

Основное свойство графика чётной функции — симметрия относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, y_0)$, симметричная ей относительно оси $Oy$, также принадлежит этому графику.

В задании дана часть графика для каждого из подпунктов (а, б, в, г). Чтобы построить полный график, необходимо для каждого случая выполнить симметричное отражение (отображение) данной части графика относительно оси $Oy$.

Чтобы построить полный график функции, часть которого показана на рисунке 1,а, необходимо отразить эту часть симметрично относительно оси $Oy$. Совокупность исходной и отражённой частей и будет искомым графиком.

Ответ: Полный график функции получается добавлением к данной части её зеркального отражения относительно оси ординат.

Для построения полного графика функции по её части, представленной на рисунке 1,б, следует симметрично отразить данную кривую относительно оси $Oy$ и объединить с исходным фрагментом.

Ответ: Полный график функции получается добавлением к данной части её зеркального отражения относительно оси ординат.

Полный график функции, фрагмент которой дан на рисунке 1,в, строится путём симметричного отображения этого фрагмента относительно оси $Oy$. Итоговый график представляет собой объединение исходной и полученной частей.

Ответ: Полный график функции получается добавлением к данной части её зеркального отражения относительно оси ординат.

Используя свойство чётности, для построения всего графика по его части с рисунка 1,г, необходимо отразить эту часть симметрично относительно оси $Oy$. Объединение исходной и отражённой кривых даст полный график.

Ответ: Полный график функции получается добавлением к данной части её зеркального отражения относительно оси ординат.

1.22 Решите задачу 1.21, если функция $y = f(x)$ нечётная.

а) $y = f(x)$

б) $y = f(x)$

в) $y = f(x)$

г) $y = f(x)$

Рис. 1

Для решения задачи воспользуемся определением нечётной функции. Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат — точки $O(0, 0)$. Это означает, что если точка $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка $(-x_0, -y_0)$ также принадлежит ему. Чтобы достроить график, нужно отразить данную часть графика симметрично относительно начала координат.

а)

На рисунке показана часть графика функции для $x \ge 0$. Это луч, выходящий из начала координат $(0, 0)$ и проходящий через точку $(1, 1)$. Уравнение этой части графика — $y = x$. Чтобы достроить график для $x < 0$, отразим данный луч относительно начала координат. Точка $(1, 1)$ перейдет в точку $(-1, -1)$, а точка $(0, 0)$ останется на месте. Таким образом, для $x < 0$ мы получим луч, выходящий из начала координат и проходящий через точку $(-1, -1)$. Итоговый график представляет собой прямую, проходящую через начало координат под углом 45° к оси $Ox$.
Ответ: Полный график функции — это прямая $y=x$.

б)

На рисунке изображен график функции для $x \ge 0$. Он состоит из двух частей: отрезка, соединяющего точки $(0, 0)$ и $(1, -1)$, и луча, выходящего из точки $(1, -1)$ и проходящего через точку $(2, 0)$. Для построения недостающей части графика отразим данные точки относительно начала координат:

• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(1, -1)$ переходит в точку $(-1, 1)$.
• Точка $(2, 0)$ переходит в точку $(-2, 0)$.

Теперь соединим полученные точки. Для $x < 0$ график будет состоять из отрезка, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$, и луча, выходящего из точки $(-1, 1)$ и проходящего через точку $(-2, 0)$.
Ответ: Недостающая часть графика для $x < 0$ — это ломаная линия, состоящая из отрезка от точки $(-1, 1)$ до $(0, 0)$ и луча, выходящего из точки $(-1, 1)$ и проходящего через точку $(-2, 0)$.

в)

Дан график функции для $x \le 0$. Он состоит из горизонтального луча $y=1$ при $x \le -1$ и отрезка, соединяющего точки $(-1, 1)$ и $(0, 0)$. Отразим ключевые точки и части графика относительно начала координат, чтобы построить его для $x > 0$:

• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(-1, 1)$ переходит в точку $(1, -1)$.
• Отрезок, соединяющий $(-1, 1)$ и $(0, 0)$, переходит в отрезок, соединяющий $(1, -1)$ и $(0, 0)$.
• Горизонтальный луч $y=1$ при $x \le -1$ переходит в горизонтальный луч $y=-1$ при $x \ge 1$. Чтобы это увидеть, можно отразить любую точку с этого луча, например, $(-2, 1)$, которая перейдет в точку $(2, -1)$.

Ответ: Недостающая часть графика для $x > 0$ состоит из отрезка от точки $(0, 0)$ до $(1, -1)$ и горизонтального луча $y = -1$ при $x \ge 1$.

г)

На рисунке для $x \ge 0$ изображена параболическая дуга. Это часть параболы с вершиной в точке $(2, 4)$, ветвями вниз, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Уравнение этой части графика: $f(x) = -(x-2)^2 + 4$. Изолированную точку на графике будем считать посторонней, не относящейся к графику функции. Для построения графика при $x < 0$ отразим данную дугу относительно начала координат:

• Вершина параболы $(2, 4)$ переходит в точку $(-2, -4)$, которая будет вершиной отраженной параболы.
• Точка $(0, 0)$ переходит сама в себя.
• Точка $(4, 0)$ переходит в точку $(-4, 0)$.

Таким образом, для $x < 0$ мы получим параболическую дугу с вершиной в точке $(-2, -4)$, ветвями вверх, соединяющую точки $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.
Ответ: Недостающая часть графика для $x < 0$ — это параболическая дуга с вершиной в точке $(-2, -4)$, проходящая через точки $(-4, 0)$ и $(0, 0)$.