Страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите её период (1.32–1.35):

1.32 а) $y = \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 x;$

в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x;$

г) $y = 1 + \tan x;$

д) $y = 1 + \cot x;$

е) $y = \sin \sqrt{x};$

ж) $y = \cos \sqrt{-x};$

з) $y = \tan \sqrt{x};$

и) $y = \cot \sqrt{-x}.$

а) Функция $y = \sin^2 x$. Для определения периода воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(u)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период $T$ находится из условия $2(x+T) = 2x + 2\pi k$ (где $k$ - целое число), откуда $2T = 2\pi$ (для наименьшего положительного периода $k=1$) и $T = \pi$. Преобразования (умножение на $-\frac{1}{2}$ и сложение с $\frac{1}{2}$) не влияют на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

б) Функция $y = \cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Функция принимает вид $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$. Как и в предыдущем пункте, период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Сложение с константой и умножение на константу не меняют период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

в) Функция $y = \sin^2 x - \cos^2 x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда нашу функцию можно переписать как $y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Умножение на $-1$ не влияет на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

г) Функция $y = 1 + \tg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\tg x$. Основной период функции $\tg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

д) Функция $y = 1 + \ctg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\ctg x$. Основной период функции $\ctg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

е) Функция $y = \sin \sqrt{x}$. Область определения этой функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, \infty)$. Для того чтобы функция была периодической с периодом $T > 0$, её область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на $T$. В частности, если $x$ принадлежит области определения, то и $x-T$ должно принадлежать ей (для всех $x$ из области определения). Однако для любого $x \in [0, T)$, значение $x-T$ будет отрицательным и не войдет в область определения. Например, $x=0$ принадлежит области определения, но $0-T=-T$ не принадлежит. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

ж) Функция $y = \cos \sqrt{-x}$. Область определения этой функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. $D(y) = (-\infty, 0]$. Как и в предыдущем случае, область определения не является инвариантной относительно сдвига на любой период $T > 0$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ не обязательно принадлежит ей. Например, для $x=0$, значение $x+T=T$ не принадлежит области определения $(-\infty, 0]$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

з) Функция $y = \tg \sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое неотрицательное число. То есть $D(y) = [0, \infty) \setminus \{(\frac{\pi}{2} + k\pi)^2\}_{k=0}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $[0, \infty)$ и, следовательно, не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, точка $x=0$ принадлежит области определения, а точка $x-T = -T$ — нет. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

и) Функция $y = \ctg \sqrt{-x}$. Область определения функции задается условиями $-x \ge 0$ (т.е. $x \le 0$) и $\sqrt{-x} \ne k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $\sqrt{-x} \ge 0$, то $k$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \le 0$ и $x \ne -(k\pi)^2$ для $k=0, 1, 2, ...$. Это дает область определения $D(y) = (-\infty, 0) \setminus \{-(k\pi)^2\}_{k=1}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $(-\infty, 0)$ и не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, для $x=-1$, точка $x+T = T-1$ может быть положительной (если $T>1$) и не входить в область определения. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

1.33 a) $y = |\sin x|$;

б) $y = |\cos x|$;

в) $y = |\operatorname{tg} x|$;

г) $y = |\operatorname{ctg} x|$;

д) $y = \sin |x|$;

е) $y = \cos |x|$;

ж) $y = \operatorname{tg} |x|$;

з) $y = \operatorname{ctg} |x|.$

а) $y = |\sin x|$

Для построения графика функции $y = |f(x)|$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ и ту его часть, что лежит ниже оси абсцисс (Ох), симметрично отразить относительно этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси Ох, остается без изменений.

В данном случае, для построения графика функции $y = |\sin x|$, мы берем график $y = \sin x$ (синусоиду) и отрицательные полуволны (где $\sin x < 0$) отражаем вверх. В результате все "впадины" синусоиды становятся "холмами".

Основные свойства функции $y = |\sin x|$:

1. Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $|\sin x| \ge 0$ и максимальное значение $\sin x$ равно 1, область значений $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (Oy).

4. Периодичность: функция периодическая. Период функции $y = \sin x$ равен $2\pi$. После взятия модуля отрицательная полуволна становится идентичной положительной, и наименьший положительный период становится равным $\pi$. Итак, $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0, 1]$.

б) $y = |\cos x|$

Построение графика аналогично предыдущему пункту: берем график $y = \cos x$ и части графика, лежащие ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\cos x|$:

1. Область определения: вся числовая прямая, $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [0, 1]$.

3. Четность: функция является четной, так как $y(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \cos x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0, 1]$.

в) $y = |\text{tg } x|$

Берем известный график функции $y = \text{tg } x$ и его ветви, расположенные под осью Ox, симметрично отражаем относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\text{tg } x|$:

1. Область определения: та же, что и у тангенса, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: так как тангенс принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, его модуль будет принимать все неотрицательные значения. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |\text{tg}(-x)| = |-\text{tg } x| = |\text{tg } x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая. Период тангенса равен $\pi$, и он сохраняется после взятия модуля. $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{tg } x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

г) $y = |\text{ctg } x|$

Берем график функции $y = \text{ctg } x$ и его ветви, расположенные под осью Ox, симметрично отражаем относительно этой оси.

Основные свойства функции $y = |\text{ctg } x|$:

1. Область определения: та же, что и у котангенса, $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = |\text{ctg}(-x)| = |-\text{ctg } x| = |\text{ctg } x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = \pi$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg } x$ отражением частей, лежащих ниже оси Ox, относительно этой оси. Функция четная, периодическая с периодом $T = \pi$. Область определения $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$.

д) $y = \sin |x|$

Для построения графика функции $y = f(|x|)$ необходимо построить график функции $y = f(x)$ для $x \ge 0$, а затем отразить эту часть графика симметрично относительно оси ординат (Oy) для $x < 0$. Часть графика $y=f(x)$ при $x<0$ отбрасывается.

В данном случае, строим график $y = \sin x$ для $x \ge 0$ (синусоида, начинающаяся в точке (0,0)) и отражаем его относительно оси Oy.

Основные свойства функции $y = \sin|x|$:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $|x|$ принимает все неотрицательные значения, $\sin|x|$ будет принимать все значения, что и синус для неотрицательных аргументов, то есть $E(y) = [-1, 1]$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это следует и из способа построения графика.

4. Периодичность: функция не является периодической. Хотя "колебания" и повторяются, общего периода для всей функции нет из-за "излома" в точке $x=0$.

Ответ: График функции получается из графика $y = \sin x$ для $x \ge 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

е) $y = \cos |x|$

Функция $y = \cos x$ является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$. Поэтому $\cos|x| = \cos x$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что график функции $y = \cos|x|$ полностью совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Правило построения для $y = f(|x|)$ также приводит к этому результату: часть графика $y = \cos x$ для $x \ge 0$ при отражении относительно оси Oy дает в точности ту же часть графика, что была для $x < 0$.

Основные свойства функции $y = \cos|x|$ совпадают со свойствами $y = \cos x$:

1. Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область значений: $E(y) = [-1, 1]$.

3. Четность: функция четная.

4. Периодичность: функция периодическая с основным периодом $T = 2\pi$.

Ответ: График функции $y = \cos|x|$ совпадает с графиком функции $y = \cos x$. Функция четная, периодическая с периодом $T = 2\pi$. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [-1, 1]$.

ж) $y = \text{tg } |x|$

Строим график по правилу для $y = f(|x|)$: берем график $y = \text{tg } x$ для $x \ge 0$ и отражаем его симметрично относительно оси Oy. Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \ge 0$ также отразятся и появятся при $x = -(\frac{\pi}{2} + \pi n)$.

Основные свойства функции $y = \text{tg } |x|$:

1. Область определения: $|x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ для $n \in \{0, 1, 2, ...\}$. Это эквивалентно условию $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: для $x \ge 0$, $|x|$ пробегает все значения от $0$ до $+\infty$. Тангенс на этом множестве аргументов принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \text{tg}|-x| = \text{tg}|x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{tg } x$ для $x \ge 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

з) $y = \text{ctg } |x|$

Строим график по правилу для $y = f(|x|)$: берем график $y = \text{ctg } x$ для $x > 0$ (при $x=0$ у котангенса асимптота) и отражаем его симметрично относительно оси Oy. Асимптоты $x = \pi n$ для $n > 0$ отразятся в $x = -\pi n$.

Основные свойства функции $y = \text{ctg } |x|$:

1. Область определения: $|x| \neq \pi n$ для $n \in \{0, 1, 2, ...\}$. Это эквивалентно условию $x \neq \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

3. Четность: функция четная, так как $y(-x) = \text{ctg}|-x| = \text{ctg}|x| = y(x)$.

4. Периодичность: функция непериодическая.

Ответ: График функции получается из графика $y = \text{ctg } x$ для $x > 0$ с последующим его отражением относительно оси Oy. Функция четная, непериодическая. Область определения $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Область значений $E(y) = (-\infty, +\infty)$.

1.34 а) $y = [x];$

б) $y = \{x\};$

в) $y = \left|\{x\} - \frac{1}{2}\right|;$

г) $y = \left|\left\{\frac{1}{2}x\right\} - \frac{1}{2}\right|;$

д) $y = \left|2\left\{\frac{1}{2}x\right\} - 1\right|;$

е) $y = \left|4\left\{\frac{1}{4}x\right\} - 2\right|.$

а) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ называется «целая часть числа» или «антье». Для любого действительного числа $x$ она возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[-2.7] = -3$.

График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $x \in [n, n+1)$ функция постоянна и равна $y=n$. В каждой целой точке $x=n$ график имеет разрыв (скачок), при этом значение в точке $x=n$ равно $n$. Например, при $x \in [0, 1)$, $y=0$; при $x \in [1, 2)$, $y=1$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — ступенчатая линия, состоящая из горизонтальных отрезков. Функция принимает целые значения и имеет разрывы в каждой целой точке.

б) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ называется «дробная часть числа». Она определяется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Значения этой функции всегда находятся в полуинтервале $[0, 1)$. Например, $\{3.14\} = 0.14$, $\{-2.7\} = -2.7 - (-3) = 0.3$.

Эта функция является периодической с основным периодом $T=1$. График функции на одном периоде, например, на $[0, 1)$, совпадает с графиком прямой $y=x$. На интервале $[n, n+1)$ для целого $n$ график представляет собой отрезок прямой $y=x-n$. График имеет вид «пилы». В каждой целой точке $x=n$ функция имеет разрыв, скачком изменяясь с значения, близкого к 1, на 0.

Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — полуинтервал $[0, 1)$, $E(y) = [0, 1)$.

Ответ: График функции — периодическая «пила» с периодом 1. Область значений — $[0, 1)$. Функция имеет разрывы в каждой целой точке.

в) $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$

Данная функция является преобразованием функции дробной части. Сначала из $\{x\}$ вычитается $\frac{1}{2}$, что сдвигает график $y=\{x\}$ вниз на $\frac{1}{2}$. Затем применяется модуль, что отражает отрицательную часть графика относительно оси абсцисс.

Функция периодическая с периодом $T=1$. Рассмотрим её на одном периоде $x \in [0, 1)$. На этом интервале $\{x\}=x$, и функция принимает вид $y=|x-\frac{1}{2}|$. График на этом отрезке представляет собой V-образную линию с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$. Он начинается в точке $(0, \frac{1}{2})$, опускается до $( \frac{1}{2}, 0)$ и поднимается до $(\approx 1, \frac{1}{2})$. Так как функция периодическая, этот V-образный фрагмент повторяется на каждом интервале $[n, n+1)$.

В отличие от функций целой и дробной части, эта функция является непрерывной на всей числовой оси. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[0, \frac{1}{2}]$, $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 1. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.

г) $y = |\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$

Эта функция аналогична функции из пункта в), но с заменой $x$ на $\frac{1}{2}x$. Такое преобразование аргумента приводит к горизонтальному растяжению графика в 2 раза. Период функции $\{ \frac{1}{2}x \}$ равен $T = 1 / (1/2) = 2$. Соответственно, период всей функции $y(x)$ также равен 2.

Рассмотрим график на одном периоде $x \in [0, 2)$. На этом интервале $0 \le \frac{1}{2}x < 1$, поэтому $\{\frac{1}{2}x\} = \frac{1}{2}x$. Функция принимает вид $y=|\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}|x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в точке $(1, 0)$. Он идет от точки $(0, \frac{1}{2})$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, \frac{1}{2})$.

График всей функции — это непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.

д) $y = |2\{\frac{1}{2}x\} - 1|$

Преобразуем выражение, вынеся 2 за скобки внутри модуля: $y = |2(\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2})| = 2|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$. Это означает, что данная функция в 2 раза больше функции из пункта г). Следовательно, её график получается растяжением графика функции $y=|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$ вдоль оси ординат в 2 раза.

Период функции остается равным 2. На периоде $x \in [0, 2)$ функция имеет вид $y=|2(\frac{1}{2}x)-1| = |x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(1, 0)$, идущая от $(0, 1)$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, 1)$.

График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений теперь $E(y) = [0, 1]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, 1]$.

е) $y = |4\{\frac{1}{4}x\} - 2|$

Преобразуем выражение аналогично предыдущему пункту: $y = |4(\{\frac{1}{4}x\} - \frac{2}{4})| = 4|\{\frac{1}{4}x\} - \frac{1}{2}|$. Эта функция строится по тому же принципу.

Период функции $\{\frac{1}{4}x\}$ равен $T = 1 / (1/4) = 4$. Таким образом, вся функция периодична с периодом 4. На одном периоде $x \in [0, 4)$, где $\{\frac{1}{4}x\} = \frac{1}{4}x$, функция принимает вид $y=|4(\frac{1}{4}x) - 2| = |x-2|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(2, 0)$. Он начинается в точке $(0, 2)$, опускается до $(2, 0)$ и поднимается до $(\approx 4, 2)$.

График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 4. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, 2]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 4. Область значений — $[0, 2]$.

1.35* а) $y = [\sin x];$

б) $y = \{\sin x\};$

в) $y = [\cos x];$

г) $y = \{\cos x\};$

д) $y = |[\sin x]|;$

е) $y = |\{\sin x\}|;$

ж) $y = |[\cos x]|;$

з) $y = |\{\cos x\}|.$

Для решения данных задач необходимо найти область значений (множество всех принимаемых значений) каждой функции. Для этого мы будем использовать свойства тригонометрических функций, а также определения целой части, дробной части и модуля числа.

• Целая часть числа $[a]$ (функция «пол» или «антье») — это наибольшее целое число, не превосходящее $a$.
• Дробная часть числа $\{a\}$ определяется формулой $\{a\} = a - [a]$. Для любого числа $a$ справедливо неравенство $0 \le \{a\} < 1$.
• Модуль числа $|a|$ — это абсолютное значение числа $a$.
• Область значений функций $y=\sin x$ и $y=\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$.

Область значений функции $f(x) = \sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$. Нам нужно найти, какие целые значения может принимать выражение $[\sin x]$.

Рассмотрим возможные значения $\sin x$:

1. Если $\sin x = 1$ (например, при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $y = [1] = 1$.
2. Если $0 \le \sin x < 1$ (например, при $x \in [0, \frac{\pi}{2})$), то $y = [\sin x] = 0$.
3. Если $-1 < \sin x < 0$ (например, при $x \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$), то $y = [\sin x] = -1$.
4. Если $\sin x = -1$ (например, при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$), то $y = [-1] = -1$.

Таким образом, функция $y = [\sin x]$ может принимать только три целочисленных значения: -1, 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{-1, 0, 1\}$.

Дробная часть числа $\{a\}$ определяется как $\{a\} = a - [a]$. По определению, $0 \le \{a\} < 1$.

Рассмотрим значения $y = \{\sin x\} = \sin x - [\sin x]$ в зависимости от значений $[\sin x]$, которые мы определили в пункте а):

1. Если $[\sin x] = 1$, что возможно только при $\sin x = 1$, то $y = \{1\} = 1 - [1] = 0$.
2. Если $[\sin x] = 0$, что возможно при $0 \le \sin x < 1$, то $y = \{\sin x\} = \sin x - 0 = \sin x$. В этом случае значения $y$ покрывают промежуток $[0, 1)$.
3. Если $[\sin x] = -1$, что возможно при $-1 \le \sin x < 0$, то $y = \{\sin x\} = \sin x - (-1) = \sin x + 1$.
   • При $\sin x = -1$, $y = -1 + 1 = 0$.
   • При $-1 < \sin x < 0$, имеем $0 < \sin x + 1 < 1$, то есть $y \in (0, 1)$.

Объединяя все возможные значения, получаем, что $y$ может быть равен 0 (случаи 1 и 3) и принимать любые значения в интервале $(0, 1)$ (случаи 2 и 3). Таким образом, область значений функции — это полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

Решение полностью аналогично пункту а), так как область значений функции $y = \cos x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

1. Если $\cos x = 1$, то $y = [1] = 1$.

2. Если $0 \le \cos x < 1$, то $y = [\cos x] = 0$.

3. Если $-1 \le \cos x < 0$, то $y = [\cos x] = -1$.

Следовательно, множество значений функции состоит из трех чисел.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{-1, 0, 1\}$.

Решение полностью аналогично пункту б). Используем определение $\{a\} = a - [a]$ и результаты пункта в).

1. Если $[\cos x] = 1$ (т.е. $\cos x = 1$), то $y = \{1\} = 0$.
2. Если $[\cos x] = 0$ (т.е. $0 \le \cos x < 1$), то $y = \{\cos x\} = \cos x$. Значения $y$ лежат в $[0, 1)$.
3. Если $[\cos x] = -1$ (т.е. $-1 \le \cos x < 0$), то $y = \{\cos x\} = \cos x + 1$. Значения $y$ лежат в $[0, 1)$.

Объединяя все случаи, получаем, что область значений функции — это полуинтервал $[0, 1)$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

Из пункта а) мы знаем, что множество значений выражения $[\sin x]$ есть $\{-1, 0, 1\}$.

Теперь применим операцию взятия модуля к каждому из этих значений:

• $|-1| = 1$
• $|0| = 0$
• $|1| = 1$

Таким образом, функция может принимать только два значения: 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{0, 1\}$.

Из пункта б) мы знаем, что область значений функции $z = \{\sin x\}$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Это означает, что $0 \le \{\sin x\} < 1$.

Так как все значения выражения $\{\sin x\}$ неотрицательны, то их модуль равен самим этим значениям: $|\{\sin x\}| = \{\sin x\}$.

Следовательно, область значений функции $y = |\{\sin x\}|$ совпадает с областью значений функции $z = \{\sin x\}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

Из пункта в) мы знаем, что множество значений выражения $[\cos x]$ есть $\{-1, 0, 1\}$.

Применим операцию взятия модуля к этим значениям:

• $|-1| = 1$
• $|0| = 0$
• $|1| = 1$

Таким образом, функция может принимать только два значения: 0 и 1.

Ответ: Множество значений функции $E(y) = \{0, 1\}$.

Из пункта г) мы знаем, что область значений функции $z = \{\cos x\}$ есть полуинтервал $[0, 1)$.

Это означает, что $0 \le \{\cos x\} < 1$.

Так как все значения выражения $\{\cos x\}$ неотрицательны, их модуль равен им самим: $|\{\cos x\}| = \{\cos x\}$.

Следовательно, область значений функции $y = |\{\cos x\}|$ совпадает с областью значений функции $z = \{\cos x\}$.

Ответ: Область значений функции $E(y) = [0, 1)$.

1.36 Определите период функции:

a) $y = \sin 3x + \cos 8x;$

б) $y = \sin 7x \cos 5x + \sin 5x \cos 7x;$

в) $y = \sin 4x + \cos 10x;$

г) $y = \sin 7x \cos 5x - \sin 5x \cos 7x.$

а) Для нахождения периода функции $y = \sin 3x + \cos 8x$ необходимо найти периоды каждого слагаемого, а затем найти их наименьшее общее кратное (НОК).
Период функции $f(x) = \sin 3x$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{3}$.
Период функции $g(x) = \cos 8x$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
Период $T$ функции $y(x)$ должен быть таким, чтобы для некоторых целых чисел $n$ и $k$ выполнялось равенство $T = n \cdot T_1 = k \cdot T_2$.
$n \cdot \frac{2\pi}{3} = k \cdot \frac{\pi}{4}$
Умножим обе части на $\frac{1}{\pi}$:
$\frac{2n}{3} = \frac{k}{4}$
$8n = 3k$
Так как числа 8 и 3 взаимно простые, наименьшие натуральные значения, удовлетворяющие этому равенству, — это $n=3$ и $k=8$.
Теперь найдем период $T$, подставив $n=3$ в формулу для $T_1$:
$T = 3 \cdot T_1 = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2\pi$.
Проверим, подставив $k=8$ в формулу для $T_2$:
$T = 8 \cdot T_2 = 8 \cdot \frac{\pi}{4} = 2\pi$.
Наименьший положительный период функции равен $2\pi$.
Ответ: $2\pi$.

б) Для нахождения периода функции $y = \sin 7x \cos 5x + \sin 5x \cos 7x$ сначала упростим выражение, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда функция примет вид:
$y = \sin(7x + 5x) = \sin(12x)$.
Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В нашем случае $k=12$, следовательно, период равен:
$T = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

в) Для нахождения периода функции $y = \sin 4x + \cos 10x$ найдем периоды каждого слагаемого, а затем их наименьшее общее кратное (НОК).
Период функции $f(x) = \sin 4x$ равен $T_1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Период функции $g(x) = \cos 10x$ равен $T_2 = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}$.
Период $T$ функции $y(x)$ должен удовлетворять равенству $T = n \cdot T_1 = k \cdot T_2$ для некоторых целых чисел $n$ и $k$.
$n \cdot \frac{\pi}{2} = k \cdot \frac{\pi}{5}$
Умножим обе части на $\frac{1}{\pi}$:
$\frac{n}{2} = \frac{k}{5}$
$5n = 2k$
Так как числа 5 и 2 взаимно простые, наименьшие натуральные значения — это $n=2$ и $k=5$.
Найдем период $T$:
$T = 2 \cdot T_1 = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$.
Проверим со вторым множителем:
$T = 5 \cdot T_2 = 5 \cdot \frac{\pi}{5} = \pi$.
Наименьший положительный период функции равен $\pi$.
Ответ: $\pi$.

г) Для нахождения периода функции $y = \sin 7x \cos 5x - \sin 5x \cos 7x$ упростим выражение. Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
Пусть $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Тогда выражение можно переписать как:
$y = \sin(7x - 5x) = \sin(2x)$.
Период функции вида $y = \sin(kx)$ находится по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.
В данном случае $k=2$, поэтому период равен:
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
Ответ: $\pi$.