Страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.52° На какие вопросы надо ответить при исследовании функции?

При исследовании функции и построении ее графика необходимо ответить на следующие вопросы, которые составляют общий план исследования:

1. Область определения функции

   На этом шаге находится множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Необходимо исключить значения $x$, которые приводят к делению на ноль, извлечению корня четной степени из отрицательного числа или вычислению логарифма от неположительного числа.

   Ответ: Множество $D(f)$.

2. Четность, нечетность и периодичность

   Проверяется симметрия графика. Функция является четной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функция является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Если ни одно из условий не выполняется, функция является общего вида. Также определяется, является ли функция периодической, то есть существует ли такое число $T \ne 0$, что $f(x+T) = f(x)$.

   Ответ: Вывод о том, является ли функция четной, нечетной, общего вида или периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

   Находятся точки, в которых график функции пересекает оси Ox и Oy.

   • Для нахождения точки пересечения с осью Oy, нужно вычислить значение функции при $x=0$, то есть найти $f(0)$.
   • Для нахождения точек пересечения с осью Ox (нулей функции), нужно решить уравнение $f(x)=0$.

   Ответ: Координаты точек пересечения $(x_i, 0)$ и $(0, y_0)$.

4. Асимптоты графика функции

   Асимптота — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

   • Вертикальные асимптоты ищутся в точках разрыва функции. Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой, если $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$.
   • Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции на бесконечности. Прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой, если $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$.
   • Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ ищутся, если горизонтальные асимптоты отсутствуют. Коэффициенты находятся по формулам: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

   Ответ: Уравнения всех найденных асимптот.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (монотонность)

   На этом шаге исследуется поведение функции с помощью ее первой производной $f'(x)$.

   • Находятся критические точки, в которых $f'(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
   • Если $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает. Если $f'(x) < 0$ — убывает.
   • В точках, где производная меняет знак, находятся точки локального максимума и минимума (точки экстремума).

   Ответ: Промежутки возрастания и убывания, координаты точек максимума ($x_{max}, y_{max}$) и минимума ($x_{min}, y_{min}$).

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

   Направление изгиба графика определяется с помощью второй производной $f''(x)$.

   • Находятся точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки второй производной на полученных интервалах.
   • Если $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз). Если $f''(x) < 0$ — выпуклым (выпуклым вверх).
   • Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

   Ответ: Промежутки выпуклости и вогнутости, координаты точек перегиба.

7. Область значений функции

   На основе анализа экстремумов и поведения функции на границах области определения находится множество всех значений, которые может принимать функция.

   Ответ: Множество $E(f)$.

8. Построение графика

   На координатной плоскости отмечаются все найденные ключевые элементы: точки пересечения с осями, точки экстремумов, точки перегиба. Проводятся асимптоты. Затем, с учетом информации о монотонности и выпуклости, точки соединяются плавной кривой, которая и является графиком исследуемой функции.

   Ответ: Графическое изображение функции.

1.53° Что называют графиком функции?

Графиком функции $y = f(x)$ называют множество всех точек координатной плоскости с координатами $(x, y)$, где первая координата (абсцисса) $x$ пробегает всю область определения функции, а вторая координата (ордината) $y$ является соответствующим значением функции, то есть $y = f(x)$.

Таким образом, каждая точка на графике функции представляет собой пару $(x; f(x))$. Чтобы получить график, нужно найти все такие пары для данной функции и отметить соответствующие точки на плоскости. Совокупность этих точек и образует некоторую линию (или набор отдельных точек), которая является визуальным представлением функциональной зависимости.

Например, для функции $y = 2x+1$, областью определения которой являются все действительные числа, можно найти несколько точек. Если взять $x=0$, то $y=2 \cdot 0 + 1 = 1$, значит, точка $(0; 1)$ принадлежит графику. Если $x=2$, то $y=2 \cdot 2 + 1 = 5$, значит, точка $(2; 5)$ также принадлежит графику. Соединив все такие возможные точки, мы получим прямую линию.

Важным свойством графика функции является то, что любая вертикальная прямая (параллельная оси ординат) пересекает график не более чем в одной точке. Это свойство вытекает непосредственно из определения функции, по которому каждому значению аргумента $x$ должно соответствовать только одно значение функции $y$.

Ответ: Графиком функции является множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента из области определения функции, а ординаты — соответствующим значениям функции.

1.54 На рисунке 7, а, б изображён график функции $y = f(x)$. Укажите: область определения, нули, промежутки возрастания (убывания), промежутки знакопостоянства этой функции.

Поскольку изображения графиков (рисунок 7, а и 7, б), необходимые для решения задачи, отсутствуют, приведем подробный разбор на двух гипотетических примерах. Это поможет понять алгоритм анализа свойств функции по ее графику.

Анализ для гипотетического графика на рисунке 7, а

Представим, что на рисунке 7, а изображен график функции, определенной на отрезке от $x = -6$ до $x = 5$. График пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x = -4$ и $x = 3$. Локальный максимум находится в точке $(-1, 4)$, а локальный минимум — в точке $(4, -2)$. Начальная точка графика — $(-6, -3)$, конечная — $(5, 0)$.

Область определения

Область определения функции ($D(f)$) — это проекция ее графика на ось Ox. Мы смотрим, для каких значений $x$ график существует. Согласно нашему предположению, функция определена для всех $x$ от -6 до 5 включительно.

Ответ: $D(f) = [-6; 5]$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Графически это точки, в которых график пересекает ось Ox. По нашему условию, это точки $x = -4$ и $x = 3$. Также конечная точка $(5, 0)$ является нулем.

Ответ: $x = -4, x = 3, x = 5$.

Промежутки возрастания (убывания)

Анализируем, на каких участках график "идет вверх" (возрастание) и "идет вниз" (убывание) при движении слева направо. Точки экстремумов (максимумы и минимумы) являются границами этих промежутков.

• Функция возрастает от начальной точки $x = -6$ до точки максимума $x = -1$.
• Функция убывает от точки максимума $x = -1$ до точки минимума $x = 4$.
• Функция возрастает от точки минимума $x = 4$ до конечной точки $x = 5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-6; -1]$ и $[4; 5]$; функция убывает на промежутке $[-1; 4]$.

Промежутки знакопостоянства этой функции

Это промежутки, где функция сохраняет свой знак, то есть $y > 0$ (график выше оси Ox) или $y < 0$ (график ниже оси Ox). Границами этих промежутков являются нули функции.

• $y > 0$ (график выше оси Ox) на интервале между нулями $x = -4$ и $x = 3$.
• $y < 0$ (график ниже оси Ox) на интервалах от начальной точки до первого нуля и от второго нуля до третьего: от $x = -6$ до $x = -4$ и от $x = 3$ до $x = 5$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-4; 3)$; $y < 0$ при $x \in [-6; -4) \cup (3; 5)$.

Анализ для гипотетического графика на рисунке 7, б

Представим, что на рисунке 7, б изображен график функции, определенной на отрезке от $x = -5$ до $x = 7$. График имеет разрыв в точке $x = 1$ (вертикальная асимптота). Нули функции находятся в точках $x = -3$ и $x = 4$. На промежутке $(1; 7]$ функция имеет локальный минимум в точке $(4, 0)$.

Область определения

Функция определена для всех $x$ от -5 до 7 включительно, за исключением точки $x = 1$, где, как мы предположили, находится вертикальная асимптота.

Ответ: $D(f) = [-5; 1) \cup (1; 7]$.

Нули функции

График пересекает или касается оси Ox в точках $x = -3$ и $x = 4$.

Ответ: $x = -3, x = 4$.

Промежутки возрастания (убывания)

Анализируем поведение функции на каждом из интервалов, разделенных асимптотой.

• На промежутке $[-5; 1)$ график функции постоянно возрастает (идет вверх к асимптоте).
• На промежутке $(1; 7]$ график сначала убывает от асимптоты до точки минимума $x=4$, а затем возрастает от $x=4$ до $x=7$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-5; 1)$ и $[4; 7]$; функция убывает на промежутке $(1; 4]$.

Промежутки знакопостоянства этой функции

Определяем знаки функции на интервалах, ограниченных нулями и точками разрыва.

• $y > 0$: на промежутке $(-3; 1)$ и на промежутке $(1; 4) \cup (4; 7]$. В точке $x=4$ функция равна нулю, поэтому мы ее исключаем из интервала строгого неравенства. Поскольку на всем промежутке $(1; 7]$ кроме точки $x=4$ функция положительна, можно записать $(1; 4) \cup (4; 7]$.
• $y < 0$: на промежутке от $x = -5$ до нуля $x = -3$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 1) \cup (1; 4) \cup (4; 7]$; $y < 0$ при $x \in [-5; -3)$.

Исследуйте функцию и постройте её график (1.55–1.57):

1.55 а) $y = |x|$;

б) $y = \frac{1}{|x|}$;

в) $y = \frac{1}{x^2}$;

г) $y = \frac{1}{x^3}$.

а)

б)

Рис. 7

а) $y = |x|$

1. Область определения: Вся числовая ось, так как модуль можно взять от любого числа. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Модуль любого числа — величина неотрицательная. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

4. Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y=|0|=0$. Если $y=0$, то $|x|=0$, откуда $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.

5. Асимптоты: Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Горизонтальных асимптот также нет, поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} |x| = +\infty$.

6. Монотонность и экстремумы: Функцию можно представить в виде $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Производная $y'$ равна 1 при $x > 0$ и -1 при $x < 0$. В точке $x=0$ производная не существует. Так как производная меняет знак с «−» на «+» в точке $x=0$, это точка минимума. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. $y_{min}=y(0)=0$.

7. График: График функции состоит из двух частей: луча $y=x$ для $x \ge 0$ и луча $y=-x$ для $x < 0$. Эти два луча образуют "галочку" с вершиной в начале координат.

Ответ: Функция $y=|x|$ определена на всей числовой оси, четная, неотрицательная. Убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Минимум в точке $(0,0)$. График — два луча $y=x$ (при $x \ge 0$) и $y=-x$ (при $x < 0$), образующие V-образную фигуру с вершиной в начале координат.

б) $y = \frac{1}{|x|}$

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $y = \frac{1}{|x|} > 0$. $E(y) = (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

4. Точки пересечения с осями координат: С осью Oy пересечения нет, так как $x \neq 0$. С осью Ox пересечения нет, так как уравнение $\frac{1}{|x|} = 0$ не имеет решений.

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{|x|} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Раскроем модуль: $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Производная $y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
- При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(0, +\infty)$.
- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{2}{x^3}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x < 0$, $y'' > 0$ (так как $x^3 < 0$), график также вогнутый.
Точек перегиба нет.

8. График: График состоит из двух ветвей. Одна ветвь в первой координатной четверти (для $x>0$), другая — во второй (для $x<0$). Обе ветви симметричны относительно оси Oy, приближаются к оси Oy (стремясь к $+\infty$) при $x \to 0$ и к оси Ox (стремясь к 0) при $x \to \pm\infty$. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(-2, 0.5)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{|x|}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, положительная. Возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей в I и II квадрантах.

в) $y = \frac{1}{x^2}$

1. Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, поэтому $y > 0$. $E(y) = (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

4. Точки пересечения с осями: С осью Oy пересечения нет ($x \neq 0$). С осью Ox пересечения нет ($y > 0$).

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Производная $y' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает на $(0, +\infty)$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = (-2x^{-3})' = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y'' > 0$ на всей области определения. График функции является вогнутым (выпуклым вниз) на обоих промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

8. График: График очень похож на график функции $y = \frac{1}{|x|}$. Он также состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей в I и II координатных четвертях, с теми же асимптотами. Однако, функция $y = \frac{1}{x^2}$ стремится к бесконечности при $x \to 0$ "быстрее", чем $y = \frac{1}{|x|}$, и стремится к нулю при $x \to \pm\infty$ также "быстрее". Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 0.25)$, $(-2, 0.25)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^2}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, положительная. Возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную $y=0$. График состоит из двух симметричных вогнутых ветвей в I и II квадрантах.

г) $y = \frac{1}{x^3}$

1. Область определения: $x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Функция не принимает значение 0. $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = \frac{1}{-x^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

4. Точки пересечения с осями: Пересечений с осями координат нет, так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$. При этом $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Производная $y' = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, производная $y' < 0$ на всей области определения. Функция является убывающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = (-3x^{-4})' = 12x^{-5} = \frac{12}{x^5}$.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точек перегиба нет, так как в точке $x=0$, где меняется знак второй производной, функция не определена.

8. График: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первой четверти, она убывает от $+\infty$ (вблизи оси Oy) до 0 (при $x \to +\infty$) и является вогнутой. Вторая ветвь находится в третьей четверти, она также убывает от 0 (при $x \to -\infty$) до $-\infty$ (вблизи оси Oy) и является выпуклой. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(2, 1/8)$, $(-2, -1/8)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^3}$ определена для всех $x \neq 0$, нечетная. Убывает на всей области определения. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную $y=0$. График — гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III квадрантах, симметричных относительно начала координат.