Номер 1.52, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.52, страница 20.

Условие.

1.52° На какие вопросы надо ответить при исследовании функции?

Решение 1.

Решение 4.

При исследовании функции и построении ее графика необходимо ответить на следующие вопросы, которые составляют общий план исследования:

1. Область определения функции

   На этом шаге находится множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл. Необходимо исключить значения $x$, которые приводят к делению на ноль, извлечению корня четной степени из отрицательного числа или вычислению логарифма от неположительного числа.

   Ответ: Множество $D(f)$.

2. Четность, нечетность и периодичность

   Проверяется симметрия графика. Функция является четной, если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Функция является нечетной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. Если ни одно из условий не выполняется, функция является общего вида. Также определяется, является ли функция периодической, то есть существует ли такое число $T \ne 0$, что $f(x+T) = f(x)$.

   Ответ: Вывод о том, является ли функция четной, нечетной, общего вида или периодической.

3. Точки пересечения с осями координат

   Находятся точки, в которых график функции пересекает оси Ox и Oy.

   • Для нахождения точки пересечения с осью Oy, нужно вычислить значение функции при $x=0$, то есть найти $f(0)$.
   • Для нахождения точек пересечения с осью Ox (нулей функции), нужно решить уравнение $f(x)=0$.

   Ответ: Координаты точек пересечения $(x_i, 0)$ и $(0, y_0)$.

4. Асимптоты графика функции

   Асимптота — это прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

   • Вертикальные асимптоты ищутся в точках разрыва функции. Прямая $x=a$ является вертикальной асимптотой, если $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$.
   • Горизонтальные асимптоты определяются поведением функции на бесконечности. Прямая $y=b$ является горизонтальной асимптотой, если $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$.
   • Наклонные асимптоты вида $y=kx+b$ ищутся, если горизонтальные асимптоты отсутствуют. Коэффициенты находятся по формулам: $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$.

   Ответ: Уравнения всех найденных асимптот.

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (монотонность)

   На этом шаге исследуется поведение функции с помощью ее первой производной $f'(x)$.

   • Находятся критические точки, в которых $f'(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения.
   • Если $f'(x) > 0$, функция на этом интервале возрастает. Если $f'(x) < 0$ — убывает.
   • В точках, где производная меняет знак, находятся точки локального максимума и минимума (точки экстремума).

   Ответ: Промежутки возрастания и убывания, координаты точек максимума ($x_{max}, y_{max}$) и минимума ($x_{min}, y_{min}$).

6. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

   Направление изгиба графика определяется с помощью второй производной $f''(x)$.

   • Находятся точки, в которых $f''(x)=0$ или не существует.
   • Определяются знаки второй производной на полученных интервалах.
   • Если $f''(x) > 0$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз). Если $f''(x) < 0$ — выпуклым (выпуклым вверх).
   • Точки, в которых направление выпуклости меняется, называются точками перегиба.

   Ответ: Промежутки выпуклости и вогнутости, координаты точек перегиба.

7. Область значений функции

   На основе анализа экстремумов и поведения функции на границах области определения находится множество всех значений, которые может принимать функция.

   Ответ: Множество $E(f)$.

8. Построение графика

   На координатной плоскости отмечаются все найденные ключевые элементы: точки пересечения с осями, точки экстремумов, точки перегиба. Проводятся асимптоты. Затем, с учетом информации о монотонности и выпуклости, точки соединяются плавной кривой, которая и является графиком исследуемой функции.

   Ответ: Графическое изображение функции.