Номер 1.49, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.49, страница 18.

Условие.

1.49 Укажите промежутки знакопостоянства функции:

а) $y = x^2 - 4;$

б) $y = x^2 - 4x;$

в) $y = x^2 - 5x + 4;$

г) $y = 9 - x^2;$

д) $y = -x^2 + 2x;$

е) $y = -2x^2 - 3x + 5;$

ж) $y = \frac{4}{x+3} + 1;$

з) $y = \frac{-2}{x-2} - 1;$

и) $y = -|x-2| + 2.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Для функции $y = x^2 - 4$ найдем промежутки знакопостоянства. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).
Найдем нули функции, решив уравнение $y = 0$:
$x^2 - 4 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Нули функции: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.
Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Так как ветви параболы направлены вверх, функция положительна вне интервала между корнями и отрицательна между ними.
Таким образом, $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$, и $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2; 2)$.

б) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 4x$. Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$).
Найдем нули функции:
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Корни 0 и 4 делят числовую ось на три интервала.
Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция положительна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(4; +\infty)$, и отрицательна на интервале $(0; 4)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 4)$.

в) Рассмотрим функцию $y = x^2 - 5x + 4$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх ($a=1>0$).
Найдем нули функции, решив квадратное уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Либо через дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}$, откуда $x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому функция положительна вне отрезка $[1; 4]$ и отрицательна на интервале $(1; 4)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (1; 4)$.

г) Рассмотрим функцию $y = 9 - x^2$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля).
Найдем нули функции:
$9 - x^2 = 0$
$(3 - x)(3 + x) = 0$
Нули функции: $x_1 = -3$, $x_2 = 3$.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне интервала между ними.
Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$, и $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-3; 3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.

д) Рассмотрим функцию $y = -x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-1<0$).
Найдем нули функции:
$-x^2 + 2x = 0$
$-x(x - 2) = 0$
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.
Ветви параболы направлены вниз, поэтому функция положительна на интервале $(0; 2)$ и отрицательна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

е) Рассмотрим функцию $y = -2x^2 - 3x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a=-2<0$).
Найдем нули функции, решив уравнение $-2x^2 - 3x + 5 = 0$ (или $2x^2 + 3x - 5 = 0$).
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
$x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}$.
$x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$.
$x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Ветви параболы направлены вниз, значит функция положительна между корнями, то есть на интервале $(-2.5; 1)$, и отрицательна вне этого интервала.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-2.5; 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2.5) \cup (1; +\infty)$.

ж) Рассмотрим функцию $y = \frac{4}{x+3} + 1$. Это дробно-рациональная функция.
Область определения: знаменатель не равен нулю, $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$.
Найдем нули функции:
$\frac{4}{x+3} + 1 = 0$
$\frac{4}{x+3} = -1$
$4 = -(x+3) \Rightarrow 4 = -x - 3 \Rightarrow x = -7$.
Точка разрыва $x=-3$ и нуль функции $x=-7$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; -7)$, $(-7; -3)$ и $(-3; +\infty)$.
Приведем функцию к общему знаменателю для удобства: $y = \frac{4 + (x+3)}{x+3} = \frac{x+7}{x+3}$.
Определим знак функции на каждом интервале методом подстановки:
- При $x \in (-\infty; -7)$ (например, $x=-8$): $y = \frac{-8+7}{-8+3} = \frac{-1}{-5} > 0$.
- При $x \in (-7; -3)$ (например, $x=-4$): $y = \frac{-4+7}{-4+3} = \frac{3}{-1} < 0$.
- При $x \in (-3; +\infty)$ (например, $x=0$): $y = \frac{0+7}{0+3} = \frac{7}{3} > 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -7) \cup (-3; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-7; -3)$.

з) Рассмотрим функцию $y = \frac{-2}{x-2} - 1$.
Область определения: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.
Найдем нули функции:
$\frac{-2}{x-2} - 1 = 0$
$\frac{-2}{x-2} = 1$
$-2 = x - 2 \Rightarrow x = 0$.
Точка разрыва $x=2$ и нуль функции $x=0$ делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Приведем к общему знаменателю: $y = \frac{-2 - (x-2)}{x-2} = \frac{-2 - x + 2}{x-2} = \frac{-x}{x-2}$.
Определим знак на интервалах:
- При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$): $y = \frac{-(-1)}{-1-2} = \frac{1}{-3} < 0$.
- При $x \in (0; 2)$ (например, $x=1$): $y = \frac{-1}{1-2} = \frac{-1}{-1} > 0$.
- При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $y = \frac{-3}{3-2} = \frac{-3}{1} < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

и) Рассмотрим функцию $y = -|x - 2| + 2$.
Найдем нули функции:
$-|x - 2| + 2 = 0$
$|x - 2| = 2$
Это уравнение распадается на два:
1) $x - 2 = 2 \Rightarrow x = 4$.
2) $x - 2 = -2 \Rightarrow x = 0$.
Нули функции: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$. Эти точки делят числовую ось на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; 4)$ и $(4; +\infty)$.
График функции $y = -|x-2|+2$ — это график $y=|x|$, смещенный на 2 единицы вправо, отраженный относительно оси Ox и смещенный на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке $(2; 2)$. Так как "ветви" направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна за их пределами.
Проверим подстановкой:
- При $x \in (-\infty; 0)$ (например, $x=-1$): $y = -|-1-2|+2 = -3+2 = -1 < 0$.
- При $x \in (0; 4)$ (например, $x=2$): $y = -|2-2|+2 = 0+2 = 2 > 0$.
- При $x \in (4; +\infty)$ (например, $x=5$): $y = -|5-2|+2 = -3+2 = -1 < 0$.
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; 4)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.