Номер 1.43, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.43, страница 17.

Условие.

1.43 Докажите, что функция $y = -x^2 + 4x$ на промежутке:

а) $[2; +\infty)$ убывает;

б) $(-\infty; 2]$ возрастает.

Решение 1.

Решение 4.

а) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

Функция является убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $2 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^2 + 4x_2) - (-x_1^2 + 4x_1) = x_1^2 - x_2^2 + 4x_2 - 4x_1$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$(x_1^2 - x_2^2) - (4x_1 - 4x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак полученного выражения, определив знак каждого множителя:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
2. Так как $x_1 \ge 2$ и $x_2 > 2$, то их сумма $x_1 + x_2 > 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ положительна: $x_1 + x_2 - 4 > 0$.

Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) < 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) < y(x_1)$, или $y(x_1) > y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 2$.

Воспользуемся преобразованной в пункте а) разностью значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак этого выражения для данного промежутка, определив знак каждого множителя:

1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
2. Так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то их сумма $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ отрицательна: $x_1 + x_2 - 4 < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) > 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) > y(x_1)$, или $y(x_1) < y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция является возрастающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.