Номер 1.43, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.43, страница 17.
№1.43 (с. 17)
Условие. №1.43 (с. 17)
скриншот условия

1.43 Докажите, что функция $y = -x^2 + 4x$ на промежутке:
а) $[2; +\infty)$ убывает;
б) $(-\infty; 2]$ возрастает.
Решение 1. №1.43 (с. 17)


Решение 4. №1.43 (с. 17)
а) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
Функция является убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.
Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $2 \le x_1 < x_2$.
Рассмотрим разность значений функции в этих точках:
$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^2 + 4x_2) - (-x_1^2 + 4x_1) = x_1^2 - x_2^2 + 4x_2 - 4x_1$
Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:
$(x_1^2 - x_2^2) - (4x_1 - 4x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$
Оценим знак полученного выражения, определив знак каждого множителя:
- Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
- Так как $x_1 \ge 2$ и $x_2 > 2$, то их сумма $x_1 + x_2 > 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ положительна: $x_1 + x_2 - 4 > 0$.
Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому:
$y(x_2) - y(x_1) < 0$
Это неравенство равносильно $y(x_2) < y(x_1)$, или $y(x_1) > y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на этом промежутке.
Ответ: Утверждение доказано.
б) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.
Функция является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.
Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 2$.
Воспользуемся преобразованной в пункте а) разностью значений функции:
$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$
Оценим знак этого выражения для данного промежутка, определив знак каждого множителя:
- Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
- Так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то их сумма $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ отрицательна: $x_1 + x_2 - 4 < 0$.
Произведение двух отрицательных множителей дает положительный результат, поэтому:
$y(x_2) - y(x_1) > 0$
Это неравенство равносильно $y(x_2) > y(x_1)$, или $y(x_1) < y(x_2)$.
Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция является возрастающей на этом промежутке.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.43 расположенного на странице 17 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.43 (с. 17), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.