Номер 1.43, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.43, страница 17.

№1.43 (с. 17)
Условие. №1.43 (с. 17)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 17, номер 1.43, Условие

1.43 Докажите, что функция $y = -x^2 + 4x$ на промежутке:

а) $[2; +\infty)$ убывает;

б) $(-\infty; 2]$ возрастает.

Решение 1. №1.43 (с. 17)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 17, номер 1.43, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 17, номер 1.43, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 4. №1.43 (с. 17)

а) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ убывает на промежутке $[2; +\infty)$.

Функция является убывающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) > y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $2 \le x_1 < x_2$.

Рассмотрим разность значений функции в этих точках:

$y(x_2) - y(x_1) = (-x_2^2 + 4x_2) - (-x_1^2 + 4x_1) = x_1^2 - x_2^2 + 4x_2 - 4x_1$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$(x_1^2 - x_2^2) - (4x_1 - 4x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) - 4(x_1 - x_2) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак полученного выражения, определив знак каждого множителя:

  1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
  2. Так как $x_1 \ge 2$ и $x_2 > 2$, то их сумма $x_1 + x_2 > 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ положительна: $x_1 + x_2 - 4 > 0$.

Произведение отрицательного и положительного множителей дает отрицательный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) < 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) < y(x_1)$, или $y(x_1) > y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $[2; +\infty)$ выполняется $y(x_1) > y(x_2)$, функция является убывающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Докажем, что функция $y = -x^2 + 4x$ возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$.

Функция является возрастающей на некотором промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

Возьмем произвольные числа $x_1$ и $x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ такие, что $x_1 < x_2$. Это означает, что $x_1 < x_2 \le 2$.

Воспользуемся преобразованной в пункте а) разностью значений функции:

$y(x_2) - y(x_1) = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 - 4)$

Оценим знак этого выражения для данного промежутка, определив знак каждого множителя:

  1. Так как по условию $x_1 < x_2$, то разность $(x_1 - x_2)$ отрицательна: $x_1 - x_2 < 0$.
  2. Так как $x_1 < 2$ и $x_2 \le 2$, то их сумма $x_1 + x_2 < 2 + 2 = 4$. Следовательно, разность $(x_1 + x_2 - 4)$ отрицательна: $x_1 + x_2 - 4 < 0$.

Произведение двух отрицательных множителей дает положительный результат, поэтому:

$y(x_2) - y(x_1) > 0$

Это неравенство равносильно $y(x_2) > y(x_1)$, или $y(x_1) < y(x_2)$.

Поскольку для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(-\infty; 2]$ выполняется $y(x_1) < y(x_2)$, функция является возрастающей на этом промежутке.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.43 расположенного на странице 17 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.43 (с. 17), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.