Номер 1.39, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.39, страница 17.

Условие.

1.39 a) Докажите, что сумма возрастающих на промежутке $X$ функций является функцией, также возрастающей на $X$.

б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке $X$ функций является функцией, также убывающей на $X$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Докажем, что сумма возрастающих на промежутке X функций является функцией, также возрастающей на X.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ являются возрастающими на некотором промежутке X. По определению возрастающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняются следующие неравенства:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Рассмотрим сумму этих функций, которую обозначим как $h(x) = f(x) + g(x)$. Нам необходимо доказать, что функция $h(x)$ также является возрастающей на промежутке X. Для этого нужно показать, что для любых $x_1, x_2 \in X$ при условии $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $h(x_1) < h(x_2)$.

Возьмем два неравенства, которые верны по определению возрастающих функций $f(x)$ и $g(x)$:
$f(x_1) < f(x_2)$
$g(x_1) < g(x_2)$

Сложим эти два неравенства одного знака почленно. Согласно свойству числовых неравенств, при сложении двух верных неравенств одного знака получается верное неравенство того же знака:
$f(x_1) + g(x_1) < f(x_2) + g(x_2)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, мы можем переписать полученное неравенство в виде:
$h(x_1) < h(x_2)$

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка X выполняется $h(x_1) < h(x_2)$, это по определению означает, что функция $h(x)$ является возрастающей на промежутке X.
Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем, что сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, также убывающей на X.

Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ являются убывающими на некотором промежутке X. По определению убывающей функции, для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из промежутка X, таких что $x_1 < x_2$, выполняются следующие неравенства:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Рассмотрим сумму этих функций, которую обозначим как $h(x) = f(x) + g(x)$. Нам необходимо доказать, что функция $h(x)$ также является убывающей на промежутке X. Для этого нужно показать, что для любых $x_1, x_2 \in X$ при условии $x_1 < x_2$ будет выполняться неравенство $h(x_1) > h(x_2)$.

Возьмем два неравенства, которые верны по определению убывающих функций $f(x)$ и $g(x)$:
$f(x_1) > f(x_2)$
$g(x_1) > g(x_2)$

Сложим эти два неравенства одного знака почленно:
$f(x_1) + g(x_1) > f(x_2) + g(x_2)$

Поскольку $h(x) = f(x) + g(x)$, мы можем переписать полученное неравенство в виде:
$h(x_1) > h(x_2)$

Так как для любых $x_1 < x_2$ из промежутка X выполняется $h(x_1) > h(x_2)$, это по определению означает, что функция $h(x)$ является убывающей на промежутке X.
Ответ: Утверждение доказано.