Номер 1.45, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.45, страница 17.

Условие.

1.45 При каких значениях $a$ функция $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ является:

a) возрастающей на промежутке $[x_0; +\infty);$

б) убывающей на промежутке $[x_0; +\infty);$

в) возрастающей на промежутке $(-\infty; x_0];$

г) убывающей на промежутке $(-\infty; x_0]$?

Решение 1.

Решение 4.

Данная функция $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ является квадратичной. Её график — это парабола с вершиной в точке с координатами $(x_0, y_0)$. Поведение функции, в частности её возрастание и убывание, полностью определяется знаком коэффициента $a$. Осью симметрии параболы является прямая $x = x_0$, и именно в вершине параболы происходит смена характера монотонности.

Проанализируем поведение функции в зависимости от знака $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. В этом случае точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума. Функция убывает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и возрастает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. В этом случае точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума. Функция возрастает на промежутке $(-\infty, x_0]$ и убывает на промежутке $[x_0, +\infty)$.
• Если $a = 0$, функция становится постоянной: $y = y_0$. Такая функция не является ни строго возрастающей, ни строго убывающей. Поскольку в задаче используются термины "возрастающая" и "убывающая", которые подразумевают строгую монотонность, мы полагаем, что $a \neq 0$.

На основе этого анализа дадим ответы на каждый пункт задачи.

а) возрастающей на промежутке $[x_0; +\infty)$

Функция является возрастающей на промежутке справа от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вверх, а вершина является точкой минимума. Такое поведение функции обеспечивается при положительном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a > 0$.

б) убывающей на промежутке $[x_0; +\infty)$

Функция является убывающей на промежутке справа от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вниз, а вершина является точкой максимума. Такое поведение функции обеспечивается при отрицательном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a < 0$.

в) возрастающей на промежутке $(-\infty; x_0]$

Функция является возрастающей на промежутке слева от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вниз. При приближении к вершине (точке максимума) слева значения функции увеличиваются. Это происходит при отрицательном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a < 0$.

г) убывающей на промежутке $(-\infty; x_0]$

Функция является убывающей на промежутке слева от вершины параболы. Это соответствует случаю, когда ветви параболы направлены вверх. При приближении к вершине (точке минимума) слева значения функции уменьшаются. Это происходит при положительном значении коэффициента $a$.

Ответ: $a > 0$.