Номер 1.47, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.47, страница 18.

Условие.

1.47 Укажите промежутки строгой монотонности функции:

а) $y = \frac{1}{x};$

б) $y = \sqrt[3]{x^2};$

в) $y = \sqrt{5 - 4x};$

г) $y = \lg \cos x;$

д) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x};$

е) $y = \frac{-3}{x - 2} + 1;$

ж) $y = |x^2 - 3x + 2|;$

з) $y = \sqrt{x^2 - 1}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \frac{1}{x}$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.
Найдем производную функции: $y' = (\frac{1}{x})' = (x^{-1})' = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.
Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, следовательно, производная $y' = -\frac{1}{x^2}$ всегда отрицательна.
Таким образом, функция является строго убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x^2}$
Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как корень третьей степени определен для любого действительного числа.
Представим функцию в виде $y = x^{2/3}$ и найдем производную: $y' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.
Производная не определена в точке $x=0$. Эта точка является критической.
При $x > 0$, $\sqrt[3]{x} > 0$, следовательно, $y' > 0$, и функция строго возрастает.
При $x < 0$, $\sqrt[3]{x} < 0$, следовательно, $y' < 0$, и функция строго убывает.
Так как функция непрерывна в точке $x=0$, эту точку можно включить в концы промежутков.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и строго возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

в) $y = \sqrt{5 - 4x}$
Область определения функции находится из условия $5 - 4x \ge 0$, что дает $4x \le 5$, или $x \le \frac{5}{4}$. Итак, $D(y) = (-\infty, \frac{5}{4}]$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{5 - 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{5 - 4x}} \cdot (5 - 4x)' = \frac{-4}{2\sqrt{5 - 4x}} = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}$.
На интервале $(-\infty, \frac{5}{4})$ знаменатель $\sqrt{5 - 4x}$ положителен. Числитель равен -2. Следовательно, $y' < 0$ на всей области определения, где она существует.
Функция строго убывает на всей своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, \frac{5}{4}]$.

г) $y = \lg \cos x$
Область определения функции задается условием $\cos x > 0$. Это выполняется, когда $x$ принадлежит объединению интервалов $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ для всех целых $k$.
Найдем производную: $y' = (\lg \cos x)' = \frac{1}{\cos x \cdot \ln 10} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{\cos x \cdot \ln 10} = -\frac{\tan x}{\ln 10}$.
Производная равна нулю, когда $\tan x = 0$, то есть $x = \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из этих точек в область определения входят только $x = 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим знак производной на одном периоде, например, на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.
- На интервале $(-\frac{\pi}{2}, 0)$: $\tan x < 0$, поэтому $y' = -\frac{\tan x}{\ln 10} > 0$, функция строго возрастает.
- На интервале $(0, \frac{\pi}{2})$: $\tan x > 0$, поэтому $y' < 0$, функция строго убывает.
Обобщая на все периоды и включая точки непрерывности:
Ответ: функция строго возрастает на каждом из промежутков $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 2\pi k]$ и строго убывает на каждом из промежутков $[2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

д) $y = \sqrt{\ctg x}$
Область определения задается условием $\ctg x \ge 0$. Котангенс неотрицателен в первом и третьем квадрантах. С учетом того, что $\ctg x$ не определен в точках $x=\pi k$, получаем область определения $D(y) = \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{\ctg x})' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (\ctg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (-\frac{1}{\sin^2 x}) = -\frac{1}{2\sin^2 x \sqrt{\ctg x}}$.
На всей области определения, где производная существует (т.е. на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$), множители $\sin^2 x$ и $\sqrt{\ctg x}$ положительны. Следовательно, $y' < 0$.
Функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго убывает на каждом из промежутков $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

е) $y = \frac{-3}{x - 2} + 1$
Область определения функции: $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (\frac{-3}{x - 2} + 1)' = (-3(x-2)^{-1})' = -3 \cdot (-1)(x-2)^{-2} = \frac{3}{(x-2)^2}$.
Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен для $x \neq 2$. Числитель равен 3. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x$ из области определения.
Функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция строго возрастает на промежутках $(-\infty, 2)$ и $(2, +\infty)$.

ж) $y = |x^2 - 3x + 2|$
Функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$. Найдем нули подмодульного выражения: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x-1)(x-2)=0$. Корни $x_1=1, x_2=2$.
Раскроем модуль: $y = \begin{cases} x^2 - 3x + 2, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \\ -(x^2 - 3x + 2) = -x^2+3x-2, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$.
Найдем производную: $y' = \begin{cases} 2x - 3, & \text{если } x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \\ -2x + 3, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$.
В точках $x=1$ и $x=2$ производная не существует ("изломы" графика). Найдем нули производной: $-2x+3=0 \implies x=1.5$. Это критическая точка.
Проанализируем знаки производной на интервалах:
- $(-\infty, 1)$: $y' = 2x - 3 < 0 \implies$ убывает.
- $(1, 1.5)$: $y' = -2x + 3 > 0 \implies$ возрастает.
- $(1.5, 2)$: $y' = -2x + 3 < 0 \implies$ убывает.
- $(2, +\infty)$: $y' = 2x - 3 > 0 \implies$ возрастает.
Включая точки непрерывности:
Ответ: функция строго убывает на промежутках $(-\infty, 1]$ и $[1.5, 2]$; строго возрастает на промежутках $[1, 1.5]$ и $[2, +\infty)$.

з) $y = \sqrt{x^2 - 1}$
Область определения функции: $x^2 - 1 \ge 0 \implies x^2 \ge 1$, что равносильно $x \le -1$ или $x \ge 1$. $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$.
Найдем производную: $y' = (\sqrt{x^2 - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot (x^2-1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
Знаменатель $\sqrt{x^2-1}$ положителен на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$. Знак производной совпадает со знаком числителя $x$.
- При $x \in (1, +\infty)$, $x > 0$, следовательно $y' > 0$ и функция строго возрастает.
- При $x \in (-\infty, -1)$, $x < 0$, следовательно $y' < 0$ и функция строго убывает.
Ответ: функция строго убывает на промежутке $(-\infty, -1]$ и строго возрастает на промежутке $[1, +\infty)$.