Номер 1.51, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.51, страница 18.

Условие.

1.51 При каких значениях $b$ и $c$ функция $y = x^2 + bx + c$ принимает отрицательные значения только при $x \in (-4; -2)$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Заданная функция $y = x^2 + bx + c$ является квадратичной. График этой функции — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Условие, что функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) только на интервале $x \in (-4; -2)$, означает, что парабола пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точках $x_1 = -4$ и $x_2 = -2$. Эти точки являются корнями квадратного уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Между этими корнями значения функции отрицательны, а в самих точках $x_1$ и $x_2$ и за их пределами — неотрицательны, что полностью соответствует условию задачи.

Для нахождения коэффициентов $b$ и $c$ воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = b$ и $q = c$.

1. Найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = -4 + (-2) = -6$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -b$. Отсюда получаем:

$-b = -6$

$b = 6$

2. Найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = (-4) \cdot (-2) = 8$

По теореме Виета, $x_1 \cdot x_2 = c$. Отсюда получаем:

$c = 8$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $b = 6$ и $c = 8$.

Ответ: $b = 6, c = 8$.