Номер 1.44, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.44, страница 17.

Условие.

1.44 При каких значениях $k$ функция $y = kx + b$ является:

а) возрастающей;

б) убывающей?

Решение 1.

Решение 4.

Функция $y = kx + b$ является линейной функцией. Её монотонность, то есть возрастание или убывание, зависит от знака углового коэффициента $k$.

По определению, функция $y(x)$ называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) > y(x_1)$. Аналогично, функция называется убывающей, если при $x_2 > x_1$ выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$.

Рассмотрим два произвольных значения аргумента $x_1$ и $x_2$, для которых $x_2 > x_1$.

Значения функции в этих точках равны:

$y_1 = kx_1 + b$

$y_2 = kx_2 + b$

Вычислим разность $y_2 - y_1$:

$y_2 - y_1 = (kx_2 + b) - (kx_1 + b) = kx_2 + b - kx_1 - b = k(x_2 - x_1)$

Так как мы изначально взяли $x_2 > x_1$, то разность $(x_2 - x_1)$ всегда будет положительным числом. Это означает, что знак разности $y_2 - y_1$ полностью определяется знаком коэффициента $k$.

а) возрастающей;

Для того чтобы функция была возрастающей, необходимо, чтобы выполнялось условие $y_2 > y_1$, что эквивалентно $y_2 - y_1 > 0$.

Подставим наше выражение для разности:

$k(x_2 - x_1) > 0$

Поскольку $(x_2 - x_1) > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы коэффициент $k$ был положителен.

Ответ: $k > 0$.

б) убывающей?

Для того чтобы функция была убывающей, необходимо, чтобы выполнялось условие $y_2 < y_1$, что эквивалентно $y_2 - y_1 < 0$.

Подставим наше выражение для разности:

$k(x_2 - x_1) < 0$

Поскольку $(x_2 - x_1) > 0$, для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы коэффициент $k$ был отрицателен.

Ответ: $k < 0$.