Номер 1.50, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.50, страница 18.

Условие.

1.50* Функция $y = \text{sgn} \, x$ (читается «сигнум икс» — знак числа $x$) определяется так: если $x > 0$, то $y = 1$; если $x = 0$, то $y = 0$; если $x < 0$, то $y = -1$. Определите промежутки монотонности, промежутки знакопостоянства функции:

a) $y = \text{sgn} \, x$;

б) $y = \text{sgn}(x^2 - 4)$;

в) $y = \text{sgn}(\lg x)$;

г) $y = \text{sgn} \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 4.

Функция $y = \text{sgn}(x)$ (сигнум) определяется знаком своего аргумента. Для любого выражения $u(x)$ функция $y = \text{sgn}(u(x))$ принимает значения:

$$y = \text{sgn}(u(x)) = \begin{cases} 1, & \text{если } u(x) > 0 \\ 0, & \text{если } u(x) = 0 \\ -1, & \text{если } u(x) < 0 \end{cases}$$

Промежутки монотонности для данной ступенчатой функции — это промежутки, на которых она постоянна. Промежутки знакопостоянства — это промежутки, где функция сохраняет свой знак (положительна, отрицательна или равна нулю).

а) $y = \text{sgn}(x)$

Анализируем функцию непосредственно по её определению.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$), когда её аргумент $x > 0$, то есть на промежутке $(0, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$), когда её аргумент $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty, 0)$.
- Функция равна нулю, когда её аргумент $x = 0$.

Промежутки монотонности:
Функция является кусочно-постоянной.- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.
Это и есть искомые промежутки монотонности.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, +\infty)$, $y < 0$ на $(-\infty, 0)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

б) $y = \text{sgn}(x^2 - 4)$

Чтобы найти значения функции, сначала определим знак её аргумента $u(x) = x^2 - 4$.
- $u(x) > 0 \implies x^2 - 4 > 0 \implies x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
- $u(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = -2$ или $x = 2$.
- $u(x) < 0 \implies x^2 - 4 < 0 \implies -2 < x < 2 \implies x \in (-2, 2)$.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (-2, 2)$.
- Функция равна нулю в точках $x = -2$ и $x = 2$.

Промежутки монотонности:
Функция постоянна на каждом из интервалов, где знак её аргумента не меняется.- На промежутке $(-\infty, -2)$ функция постоянна: $y = 1$.
- На промежутке $(-2, 2)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(2, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$, $y < 0$ на $(-2, 2)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, +\infty)$.

в) $y = \text{sgn}(\lg x)$

Область определения функции задается условием $x > 0$. Определим знак аргумента $u(x) = \lg x$.
- $u(x) > 0 \implies \lg x > 0 \implies x > 10^0 \implies x > 1$, то есть $x \in (1, +\infty)$.
- $u(x) = 0 \implies \lg x = 0 \implies x = 1$.
- $u(x) < 0 \implies \lg x < 0 \implies 0 < x < 1$, то есть $x \in (0, 1)$.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (1, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (0, 1)$.
- Функция равна нулю в точке $x = 1$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(0, 1)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(1, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(1, +\infty)$, $y < 0$ на $(0, 1)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

г) $y = \text{sgn}\left(\frac{1}{x}\right)$

Область определения функции: $x \neq 0$. Определим знак аргумента $u(x) = \frac{1}{x}$.
- $u(x) > 0 \implies \frac{1}{x} > 0 \implies x > 0$, то есть $x \in (0, +\infty)$.
- $u(x) < 0 \implies \frac{1}{x} < 0 \implies x < 0$, то есть $x \in (-\infty, 0)$.
- Аргумент $u(x) = \frac{1}{x}$ никогда не равен нулю, следовательно, и функция $y$ никогда не равна нулю.

Промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна ($y=1$) при $x \in (0, +\infty)$.
- Функция отрицательна ($y=-1$) при $x \in (-\infty, 0)$.

Промежутки монотонности:
- На промежутке $(-\infty, 0)$ функция постоянна: $y = -1$.
- На промежутке $(0, +\infty)$ функция постоянна: $y = 1$.

Ответ: Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на $(0, +\infty)$, $y < 0$ на $(-\infty, 0)$. Промежутки монотонности (постоянства): $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.