Номер 1.55, страница 20 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.55, страница 20.

Условие.

Исследуйте функцию и постройте её график (1.55–1.57):

1.55 а) $y = |x|$;

б) $y = \frac{1}{|x|}$;

в) $y = \frac{1}{x^2}$;

г) $y = \frac{1}{x^3}$.

а)

б)

Рис. 7

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = |x|$

1. Область определения: Вся числовая ось, так как модуль можно взять от любого числа. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Область значений: Модуль любого числа — величина неотрицательная. $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Четность: Функция является четной, так как для любого $x$ выполняется $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).

4. Точки пересечения с осями координат: Если $x=0$, то $y=|0|=0$. Если $y=0$, то $|x|=0$, откуда $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.

5. Асимптоты: Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Горизонтальных асимптот также нет, поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} |x| = +\infty$.

6. Монотонность и экстремумы: Функцию можно представить в виде $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Производная $y'$ равна 1 при $x > 0$ и -1 при $x < 0$. В точке $x=0$ производная не существует. Так как производная меняет знак с «−» на «+» в точке $x=0$, это точка минимума. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$. $y_{min}=y(0)=0$.

7. График: График функции состоит из двух частей: луча $y=x$ для $x \ge 0$ и луча $y=-x$ для $x < 0$. Эти два луча образуют "галочку" с вершиной в начале координат.

Ответ: Функция $y=|x|$ определена на всей числовой оси, четная, неотрицательная. Убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Минимум в точке $(0,0)$. График — два луча $y=x$ (при $x \ge 0$) и $y=-x$ (при $x < 0$), образующие V-образную фигуру с вершиной в начале координат.

б) $y = \frac{1}{|x|}$

1. Область определения: Знаменатель не может быть равен нулю, $|x| \neq 0$, что означает $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: Так как $|x| > 0$ для всех $x$ из области определения, то и $y = \frac{1}{|x|} > 0$. $E(y) = (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x|} = \frac{1}{|x|} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

4. Точки пересечения с осями координат: С осью Oy пересечения нет, так как $x \neq 0$. С осью Ox пересечения нет, так как уравнение $\frac{1}{|x|} = 0$ не имеет решений.

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{|x|} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Раскроем модуль: $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$. Производная $y' = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
- При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(0, +\infty)$.
- При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & \text{если } x > 0 \\ -\frac{2}{x^3}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x < 0$, $y'' > 0$ (так как $x^3 < 0$), график также вогнутый.
Точек перегиба нет.

8. График: График состоит из двух ветвей. Одна ветвь в первой координатной четверти (для $x>0$), другая — во второй (для $x<0$). Обе ветви симметричны относительно оси Oy, приближаются к оси Oy (стремясь к $+\infty$) при $x \to 0$ и к оси Ox (стремясь к 0) при $x \to \pm\infty$. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 0.5)$, $(-2, 0.5)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{|x|}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, положительная. Возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей в I и II квадрантах.

в) $y = \frac{1}{x^2}$

1. Область определения: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, поэтому $y > 0$. $E(y) = (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

4. Точки пересечения с осями: С осью Oy пересечения нет ($x \neq 0$). С осью Ox пересечения нет ($y > 0$).

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$, так как $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Производная $y' = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$.
- При $x > 0$, $x^3 > 0$, следовательно $y' < 0$. Функция убывает на $(0, +\infty)$.
- При $x < 0$, $x^3 < 0$, следовательно $y' > 0$. Функция возрастает на $(-\infty, 0)$.
Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = (-2x^{-3})' = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $y'' > 0$ на всей области определения. График функции является вогнутым (выпуклым вниз) на обоих промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.

8. График: График очень похож на график функции $y = \frac{1}{|x|}$. Он также состоит из двух симметричных относительно оси Oy ветвей в I и II координатных четвертях, с теми же асимптотами. Однако, функция $y = \frac{1}{x^2}$ стремится к бесконечности при $x \to 0$ "быстрее", чем $y = \frac{1}{|x|}$, и стремится к нулю при $x \to \pm\infty$ также "быстрее". Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 0.25)$, $(-2, 0.25)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^2}$ определена для всех $x \neq 0$, четная, положительная. Возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную $y=0$. График состоит из двух симметричных вогнутых ветвей в I и II квадрантах.

г) $y = \frac{1}{x^3}$

1. Область определения: $x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$. $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений: Если $x > 0$, то $y > 0$. Если $x < 0$, то $y < 0$. Функция не принимает значение 0. $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Четность: Функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{1}{(-x)^3} = \frac{1}{-x^3} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

4. Точки пересечения с осями: Пересечений с осями координат нет, так как $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

5. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: $x=0$. При этом $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^3} = +\infty$ и $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^3} = -\infty$.
- Горизонтальная асимптота: $y=0$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^3} = 0$.

6. Монотонность и экстремумы: Производная $y' = (x^{-3})' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, производная $y' < 0$ на всей области определения. Функция является убывающей на промежутках $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Выпуклость и вогнутость: Вторая производная $y'' = (-3x^{-4})' = 12x^{-5} = \frac{12}{x^5}$.
- При $x > 0$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
- При $x < 0$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точек перегиба нет, так как в точке $x=0$, где меняется знак второй производной, функция не определена.

8. График: График состоит из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Одна ветвь находится в первой четверти, она убывает от $+\infty$ (вблизи оси Oy) до 0 (при $x \to +\infty$) и является вогнутой. Вторая ветвь находится в третьей четверти, она также убывает от 0 (при $x \to -\infty$) до $-\infty$ (вблизи оси Oy) и является выпуклой. Контрольные точки: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(2, 1/8)$, $(-2, -1/8)$.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^3}$ определена для всех $x \neq 0$, нечетная. Убывает на всей области определения. Имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную $y=0$. График — гипербола, состоящая из двух ветвей в I и III квадрантах, симметричных относительно начала координат.