Номер 1.56, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.56, страница 21.
№1.56 (с. 21)
Условие. №1.56 (с. 21)
скриншот условия

1.56* а) $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$;
б) $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$;
В) $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$;
Г) $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$;
Д) $y = \sqrt{\cos x}$;
е) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$;
ж) $y = \sqrt{2^x}$;
з) $y = \sqrt{\log_2 x}$.
Решение 1. №1.56 (с. 21)








Решение 2. №1.56 (с. 21)

Решение 3. №1.56 (с. 21)


Решение 4. №1.56 (с. 21)
а) Для того чтобы найти область значений функции $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$, преобразуем данное выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 - 2)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1 - 3)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1) + 3}{x^2 + 1} = -1 + \frac{3}{x^2 + 1}$.
Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то знаменатель $x^2 + 1 \geq 1$.
Следовательно, для дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ справедлива оценка: $0 < \frac{3}{x^2 + 1} \leq \frac{3}{1} = 3$.
Теперь, чтобы получить значения для $y$, прибавим $-1$ ко всем частям двойного неравенства:
$-1 + 0 < -1 + \frac{3}{x^2 + 1} \leq -1 + 3$,
что дает $-1 < y \leq 2$.
Таким образом, область значений функции есть полуинтервал $(-1, 2]$.
Ответ: $E(y) = (-1, 2]$.
б) Найдем область значений функции $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$. Преобразуем выражение:
$y = \frac{x^2 + 2 - 7}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} - \frac{7}{x^2 + 2} = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$.
Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 2 \geq 2$.
Отсюда для дроби $\frac{7}{x^2 + 2}$ получаем: $0 < \frac{7}{x^2 + 2} \leq \frac{7}{2}$.
Теперь найдем значения $y = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$. Умножим неравенство на $-1$ (знаки неравенства изменятся): $-\frac{7}{2} \leq -\frac{7}{x^2 + 2} < 0$.
Прибавим $1$ ко всем частям:
$1 - \frac{7}{2} \leq 1 - \frac{7}{x^2 + 2} < 1 + 0$,
что дает $-\frac{5}{2} \leq y < 1$.
Следовательно, область значений функции есть полуинтервал $[-\frac{5}{2}, 1)$.
Ответ: $E(y) = [-2.5, 1)$.
в) Найдем область значений функции $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$. Выполним преобразование:
$y = \frac{1 - 2x^2}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 - 1/2)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 + 3 - 3.5)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2+3) + 7}{x^2+3} = -2 + \frac{7}{x^2+3}$.
Поскольку $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 3 \geq 3$.
Тогда для дроби $\frac{7}{x^2 + 3}$ имеем: $0 < \frac{7}{x^2 + 3} \leq \frac{7}{3}$.
Прибавим $-2$ ко всем частям неравенства:
$-2 + 0 < -2 + \frac{7}{x^2 + 3} \leq -2 + \frac{7}{3}$,
что дает $-2 < y \leq \frac{1}{3}$.
Область значений функции — это полуинтервал $(-2, \frac{1}{3}]$.
Ответ: $E(y) = (-2, \frac{1}{3}]$.
г) Найдем область значений функции $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$. Преобразуем выражение:
$y = \frac{2x^2 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 8 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 13}{x^2 + 4} = 2 - \frac{13}{x^2 + 4}$.
Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 4 \geq 4$.
Следовательно, $0 < \frac{13}{x^2 + 4} \leq \frac{13}{4}$.
Умножим неравенство на $-1$: $-\frac{13}{4} \leq -\frac{13}{x^2 + 4} < 0$.
Прибавим $2$ ко всем частям:
$2 - \frac{13}{4} \leq 2 - \frac{13}{x^2 + 4} < 2 + 0$,
что дает $-\frac{5}{4} \leq y < 2$.
Область значений функции — это полуинтервал $[-\frac{5}{4}, 2)$.
Ответ: $E(y) = [-1.25, 2)$.
д) Для функции $y = \sqrt{\cos x}$ сначала найдем ее область определения. Аргумент квадратного корня должен быть неотрицательным: $\cos x \geq 0$.
Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На этих промежутках значения функции $\cos x$ изменяются от $0$ до $1$. То есть $0 \leq \cos x \leq 1$.
Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей для $t \geq 0$, мы можем применить ее к неравенству:
$\sqrt{0} \leq \sqrt{\cos x} \leq \sqrt{1}$,
что дает $0 \leq y \leq 1$.
Область значений функции — это отрезок $[0, 1]$.
Ответ: $E(y) = [0, 1]$.
е) Для функции $y = \sqrt{\tan x}$ область определения задается условием $\tan x \geq 0$.
Функция $\tan x$ неотрицательна в первой и третьей четвертях, то есть при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На каждом из этих интервалов значения $\tan x$ изменяются от $\tan(\pi k) = 0$ до $+\infty$ (при $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^-$).
Таким образом, для $x$ из области определения имеем $0 \leq \tan x < +\infty$.
Применяя возрастающую функцию $\sqrt{t}$ к этому неравенству, получаем:
$\sqrt{0} \leq \sqrt{\tan x} < \sqrt{+\infty}$,
то есть $0 \leq y < +\infty$.
Область значений функции — это луч $[0, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.
ж) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2^x}$.
Показательная функция $g(x) = 2^x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее область значений — $(0, +\infty)$.
Так как $2^x > 0$ для любого $x$, подкоренное выражение всегда положительно, и функция $y$ определена на всей числовой оси.
Пусть $t = 2^x$. Тогда $t$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.
Наша функция принимает вид $y = \sqrt{t}$ для $t > 0$.
Поскольку $t > 0$, то $\sqrt{t} > \sqrt{0}$, то есть $y > 0$. Когда $t$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$.
Следовательно, область значений функции — это интервал $(0, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = (0, +\infty)$.
з) Для функции $y = \sqrt{\log_2 x}$ найдем область определения. Она задается системой неравенств:
$\begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \geq 0 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $\log_2 x \geq \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \geq 1$.
Область определения функции: $x \in [1, +\infty)$.
Теперь найдем, какие значения принимает $\log_2 x$ на этой области. При $x=1$, $\log_2 1 = 0$. При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$.
Таким образом, $0 \leq \log_2 x < +\infty$.
Пусть $t = \log_2 x$. Тогда $t \geq 0$. Наша функция имеет вид $y = \sqrt{t}$ для $t \geq 0$.
При $t \geq 0$, функция $\sqrt{t}$ принимает все значения от $\sqrt{0}=0$ до $+\infty$.
Следовательно, область значений функции $y$ — это луч $[0, +\infty)$.
Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.56 расположенного на странице 21 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.56 (с. 21), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.