Номер 1.56, страница 21 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.56, страница 21.

Условие.

1.56* а) $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$;

В) $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$;

Г) $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$;

Д) $y = \sqrt{\cos x}$;

е) $y = \sqrt{\operatorname{tg} x}$;

ж) $y = \sqrt{2^x}$;

з) $y = \sqrt{\log_2 x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы найти область значений функции $y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1}$, преобразуем данное выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{2 - x^2}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 - 2)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1 - 3)}{x^2 + 1} = \frac{-(x^2 + 1) + 3}{x^2 + 1} = -1 + \frac{3}{x^2 + 1}$.

Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного числа $x$, то знаменатель $x^2 + 1 \geq 1$.

Следовательно, для дроби $\frac{3}{x^2 + 1}$ справедлива оценка: $0 < \frac{3}{x^2 + 1} \leq \frac{3}{1} = 3$.

Теперь, чтобы получить значения для $y$, прибавим $-1$ ко всем частям двойного неравенства:

$-1 + 0 < -1 + \frac{3}{x^2 + 1} \leq -1 + 3$,

что дает $-1 < y \leq 2$.

Таким образом, область значений функции есть полуинтервал $(-1, 2]$.

Ответ: $E(y) = (-1, 2]$.

б) Найдем область значений функции $y = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 2}$. Преобразуем выражение:

$y = \frac{x^2 + 2 - 7}{x^2 + 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 + 2} - \frac{7}{x^2 + 2} = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 2 \geq 2$.

Отсюда для дроби $\frac{7}{x^2 + 2}$ получаем: $0 < \frac{7}{x^2 + 2} \leq \frac{7}{2}$.

Теперь найдем значения $y = 1 - \frac{7}{x^2 + 2}$. Умножим неравенство на $-1$ (знаки неравенства изменятся): $-\frac{7}{2} \leq -\frac{7}{x^2 + 2} < 0$.

Прибавим $1$ ко всем частям:

$1 - \frac{7}{2} \leq 1 - \frac{7}{x^2 + 2} < 1 + 0$,

что дает $-\frac{5}{2} \leq y < 1$.

Следовательно, область значений функции есть полуинтервал $[-\frac{5}{2}, 1)$.

Ответ: $E(y) = [-2.5, 1)$.

в) Найдем область значений функции $y = \frac{1 - 2x^2}{3 + x^2}$. Выполним преобразование:

$y = \frac{1 - 2x^2}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 - 1/2)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2 + 3 - 3.5)}{x^2 + 3} = \frac{-2(x^2+3) + 7}{x^2+3} = -2 + \frac{7}{x^2+3}$.

Поскольку $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 3 \geq 3$.

Тогда для дроби $\frac{7}{x^2 + 3}$ имеем: $0 < \frac{7}{x^2 + 3} \leq \frac{7}{3}$.

Прибавим $-2$ ко всем частям неравенства:

$-2 + 0 < -2 + \frac{7}{x^2 + 3} \leq -2 + \frac{7}{3}$,

что дает $-2 < y \leq \frac{1}{3}$.

Область значений функции — это полуинтервал $(-2, \frac{1}{3}]$.

Ответ: $E(y) = (-2, \frac{1}{3}]$.

г) Найдем область значений функции $y = \frac{2x^2 - 5}{4 + x^2}$. Преобразуем выражение:

$y = \frac{2x^2 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 8 - 5}{x^2 + 4} = \frac{2(x^2 + 4) - 13}{x^2 + 4} = 2 - \frac{13}{x^2 + 4}$.

Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2 + 4 \geq 4$.

Следовательно, $0 < \frac{13}{x^2 + 4} \leq \frac{13}{4}$.

Умножим неравенство на $-1$: $-\frac{13}{4} \leq -\frac{13}{x^2 + 4} < 0$.

Прибавим $2$ ко всем частям:

$2 - \frac{13}{4} \leq 2 - \frac{13}{x^2 + 4} < 2 + 0$,

что дает $-\frac{5}{4} \leq y < 2$.

Область значений функции — это полуинтервал $[-\frac{5}{4}, 2)$.

Ответ: $E(y) = [-1.25, 2)$.

д) Для функции $y = \sqrt{\cos x}$ сначала найдем ее область определения. Аргумент квадратного корня должен быть неотрицательным: $\cos x \geq 0$.

Это условие выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На этих промежутках значения функции $\cos x$ изменяются от $0$ до $1$. То есть $0 \leq \cos x \leq 1$.

Так как функция $f(t) = \sqrt{t}$ является монотонно возрастающей для $t \geq 0$, мы можем применить ее к неравенству:

$\sqrt{0} \leq \sqrt{\cos x} \leq \sqrt{1}$,

что дает $0 \leq y \leq 1$.

Область значений функции — это отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $E(y) = [0, 1]$.

е) Для функции $y = \sqrt{\tan x}$ область определения задается условием $\tan x \geq 0$.

Функция $\tan x$ неотрицательна в первой и третьей четвертях, то есть при $x \in [\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На каждом из этих интервалов значения $\tan x$ изменяются от $\tan(\pi k) = 0$ до $+\infty$ (при $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^-$).

Таким образом, для $x$ из области определения имеем $0 \leq \tan x < +\infty$.

Применяя возрастающую функцию $\sqrt{t}$ к этому неравенству, получаем:

$\sqrt{0} \leq \sqrt{\tan x} < \sqrt{+\infty}$,

то есть $0 \leq y < +\infty$.

Область значений функции — это луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.

ж) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2^x}$.

Показательная функция $g(x) = 2^x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее область значений — $(0, +\infty)$.

Так как $2^x > 0$ для любого $x$, подкоренное выражение всегда положительно, и функция $y$ определена на всей числовой оси.

Пусть $t = 2^x$. Тогда $t$ принимает все значения из интервала $(0, +\infty)$.

Наша функция принимает вид $y = \sqrt{t}$ для $t > 0$.

Поскольку $t > 0$, то $\sqrt{t} > \sqrt{0}$, то есть $y > 0$. Когда $t$ стремится к $+\infty$, $y$ также стремится к $+\infty$.

Следовательно, область значений функции — это интервал $(0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0, +\infty)$.

з) Для функции $y = \sqrt{\log_2 x}$ найдем область определения. Она задается системой неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ \log_2 x \geq 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $\log_2 x \geq \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому $x \geq 1$.

Область определения функции: $x \in [1, +\infty)$.

Теперь найдем, какие значения принимает $\log_2 x$ на этой области. При $x=1$, $\log_2 1 = 0$. При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$.

Таким образом, $0 \leq \log_2 x < +\infty$.

Пусть $t = \log_2 x$. Тогда $t \geq 0$. Наша функция имеет вид $y = \sqrt{t}$ для $t \geq 0$.

При $t \geq 0$, функция $\sqrt{t}$ принимает все значения от $\sqrt{0}=0$ до $+\infty$.

Следовательно, область значений функции $y$ — это луч $[0, +\infty)$.

Ответ: $E(y) = [0, +\infty)$.