Номер 1.34, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.34, страница 14.

Условие.

1.34 а) $y = [x];$

б) $y = \{x\};$

в) $y = \left|\{x\} - \frac{1}{2}\right|;$

г) $y = \left|\left\{\frac{1}{2}x\right\} - \frac{1}{2}\right|;$

д) $y = \left|2\left\{\frac{1}{2}x\right\} - 1\right|;$

е) $y = \left|4\left\{\frac{1}{4}x\right\} - 2\right|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ называется «целая часть числа» или «антье». Для любого действительного числа $x$ она возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[-2.7] = -3$.

График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $x \in [n, n+1)$ функция постоянна и равна $y=n$. В каждой целой точке $x=n$ график имеет разрыв (скачок), при этом значение в точке $x=n$ равно $n$. Например, при $x \in [0, 1)$, $y=0$; при $x \in [1, 2)$, $y=1$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — ступенчатая линия, состоящая из горизонтальных отрезков. Функция принимает целые значения и имеет разрывы в каждой целой точке.

б) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ называется «дробная часть числа». Она определяется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Значения этой функции всегда находятся в полуинтервале $[0, 1)$. Например, $\{3.14\} = 0.14$, $\{-2.7\} = -2.7 - (-3) = 0.3$.

Эта функция является периодической с основным периодом $T=1$. График функции на одном периоде, например, на $[0, 1)$, совпадает с графиком прямой $y=x$. На интервале $[n, n+1)$ для целого $n$ график представляет собой отрезок прямой $y=x-n$. График имеет вид «пилы». В каждой целой точке $x=n$ функция имеет разрыв, скачком изменяясь с значения, близкого к 1, на 0.

Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — полуинтервал $[0, 1)$, $E(y) = [0, 1)$.

Ответ: График функции — периодическая «пила» с периодом 1. Область значений — $[0, 1)$. Функция имеет разрывы в каждой целой точке.

в) $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$

Данная функция является преобразованием функции дробной части. Сначала из $\{x\}$ вычитается $\frac{1}{2}$, что сдвигает график $y=\{x\}$ вниз на $\frac{1}{2}$. Затем применяется модуль, что отражает отрицательную часть графика относительно оси абсцисс.

Функция периодическая с периодом $T=1$. Рассмотрим её на одном периоде $x \in [0, 1)$. На этом интервале $\{x\}=x$, и функция принимает вид $y=|x-\frac{1}{2}|$. График на этом отрезке представляет собой V-образную линию с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$. Он начинается в точке $(0, \frac{1}{2})$, опускается до $( \frac{1}{2}, 0)$ и поднимается до $(\approx 1, \frac{1}{2})$. Так как функция периодическая, этот V-образный фрагмент повторяется на каждом интервале $[n, n+1)$.

В отличие от функций целой и дробной части, эта функция является непрерывной на всей числовой оси. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[0, \frac{1}{2}]$, $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 1. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.

г) $y = |\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$

Эта функция аналогична функции из пункта в), но с заменой $x$ на $\frac{1}{2}x$. Такое преобразование аргумента приводит к горизонтальному растяжению графика в 2 раза. Период функции $\{ \frac{1}{2}x \}$ равен $T = 1 / (1/2) = 2$. Соответственно, период всей функции $y(x)$ также равен 2.

Рассмотрим график на одном периоде $x \in [0, 2)$. На этом интервале $0 \le \frac{1}{2}x < 1$, поэтому $\{\frac{1}{2}x\} = \frac{1}{2}x$. Функция принимает вид $y=|\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}|x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в точке $(1, 0)$. Он идет от точки $(0, \frac{1}{2})$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, \frac{1}{2})$.

График всей функции — это непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.

д) $y = |2\{\frac{1}{2}x\} - 1|$

Преобразуем выражение, вынеся 2 за скобки внутри модуля: $y = |2(\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2})| = 2|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$. Это означает, что данная функция в 2 раза больше функции из пункта г). Следовательно, её график получается растяжением графика функции $y=|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$ вдоль оси ординат в 2 раза.

Период функции остается равным 2. На периоде $x \in [0, 2)$ функция имеет вид $y=|2(\frac{1}{2}x)-1| = |x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(1, 0)$, идущая от $(0, 1)$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, 1)$.

График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений теперь $E(y) = [0, 1]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, 1]$.

е) $y = |4\{\frac{1}{4}x\} - 2|$

Преобразуем выражение аналогично предыдущему пункту: $y = |4(\{\frac{1}{4}x\} - \frac{2}{4})| = 4|\{\frac{1}{4}x\} - \frac{1}{2}|$. Эта функция строится по тому же принципу.

Период функции $\{\frac{1}{4}x\}$ равен $T = 1 / (1/4) = 4$. Таким образом, вся функция периодична с периодом 4. На одном периоде $x \in [0, 4)$, где $\{\frac{1}{4}x\} = \frac{1}{4}x$, функция принимает вид $y=|4(\frac{1}{4}x) - 2| = |x-2|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(2, 0)$. Он начинается в точке $(0, 2)$, опускается до $(2, 0)$ и поднимается до $(\approx 4, 2)$.

График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 4. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, 2]$.

Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 4. Область значений — $[0, 2]$.