Номер 1.34, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.34, страница 14.
№1.34 (с. 14)
Условие. №1.34 (с. 14)
скриншот условия

1.34 а) $y = [x];$
б) $y = \{x\};$
в) $y = \left|\{x\} - \frac{1}{2}\right|;$
г) $y = \left|\left\{\frac{1}{2}x\right\} - \frac{1}{2}\right|;$
д) $y = \left|2\left\{\frac{1}{2}x\right\} - 1\right|;$
е) $y = \left|4\left\{\frac{1}{4}x\right\} - 2\right|.$
Решение 1. №1.34 (с. 14)






Решение 2. №1.34 (с. 14)

Решение 3. №1.34 (с. 14)


Решение 4. №1.34 (с. 14)
а) $y = [x]$
Функция $y = [x]$ называется «целая часть числа» или «антье». Для любого действительного числа $x$ она возвращает наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Например, $[3.14] = 3$, $[-2.7] = -3$.
График этой функции является ступенчатым. Он состоит из горизонтальных отрезков. Для любого целого числа $n$, на полуинтервале $x \in [n, n+1)$ функция постоянна и равна $y=n$. В каждой целой точке $x=n$ график имеет разрыв (скачок), при этом значение в точке $x=n$ равно $n$. Например, при $x \in [0, 1)$, $y=0$; при $x \in [1, 2)$, $y=1$.
Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.
Ответ: График функции — ступенчатая линия, состоящая из горизонтальных отрезков. Функция принимает целые значения и имеет разрывы в каждой целой точке.
б) $y = \{x\}$
Функция $y = \{x\}$ называется «дробная часть числа». Она определяется по формуле $\{x\} = x - [x]$. Значения этой функции всегда находятся в полуинтервале $[0, 1)$. Например, $\{3.14\} = 0.14$, $\{-2.7\} = -2.7 - (-3) = 0.3$.
Эта функция является периодической с основным периодом $T=1$. График функции на одном периоде, например, на $[0, 1)$, совпадает с графиком прямой $y=x$. На интервале $[n, n+1)$ для целого $n$ график представляет собой отрезок прямой $y=x-n$. График имеет вид «пилы». В каждой целой точке $x=n$ функция имеет разрыв, скачком изменяясь с значения, близкого к 1, на 0.
Область определения — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — полуинтервал $[0, 1)$, $E(y) = [0, 1)$.
Ответ: График функции — периодическая «пила» с периодом 1. Область значений — $[0, 1)$. Функция имеет разрывы в каждой целой точке.
в) $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$
Данная функция является преобразованием функции дробной части. Сначала из $\{x\}$ вычитается $\frac{1}{2}$, что сдвигает график $y=\{x\}$ вниз на $\frac{1}{2}$. Затем применяется модуль, что отражает отрицательную часть графика относительно оси абсцисс.
Функция периодическая с периодом $T=1$. Рассмотрим её на одном периоде $x \in [0, 1)$. На этом интервале $\{x\}=x$, и функция принимает вид $y=|x-\frac{1}{2}|$. График на этом отрезке представляет собой V-образную линию с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$. Он начинается в точке $(0, \frac{1}{2})$, опускается до $( \frac{1}{2}, 0)$ и поднимается до $(\approx 1, \frac{1}{2})$. Так как функция периодическая, этот V-образный фрагмент повторяется на каждом интервале $[n, n+1)$.
В отличие от функций целой и дробной части, эта функция является непрерывной на всей числовой оси. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — отрезок $[0, \frac{1}{2}]$, $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.
Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 1. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.
г) $y = |\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$
Эта функция аналогична функции из пункта в), но с заменой $x$ на $\frac{1}{2}x$. Такое преобразование аргумента приводит к горизонтальному растяжению графика в 2 раза. Период функции $\{ \frac{1}{2}x \}$ равен $T = 1 / (1/2) = 2$. Соответственно, период всей функции $y(x)$ также равен 2.
Рассмотрим график на одном периоде $x \in [0, 2)$. На этом интервале $0 \le \frac{1}{2}x < 1$, поэтому $\{\frac{1}{2}x\} = \frac{1}{2}x$. Функция принимает вид $y=|\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}|x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в точке $(1, 0)$. Он идет от точки $(0, \frac{1}{2})$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, \frac{1}{2})$.
График всей функции — это непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, \frac{1}{2}]$.
Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, \frac{1}{2}]$.
д) $y = |2\{\frac{1}{2}x\} - 1|$
Преобразуем выражение, вынеся 2 за скобки внутри модуля: $y = |2(\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2})| = 2|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$. Это означает, что данная функция в 2 раза больше функции из пункта г). Следовательно, её график получается растяжением графика функции $y=|\{\frac{1}{2}x\} - \frac{1}{2}|$ вдоль оси ординат в 2 раза.
Период функции остается равным 2. На периоде $x \in [0, 2)$ функция имеет вид $y=|2(\frac{1}{2}x)-1| = |x-1|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(1, 0)$, идущая от $(0, 1)$ до $(1, 0)$ и затем до $(\approx 2, 1)$.
График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 2. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений теперь $E(y) = [0, 1]$.
Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 2. Область значений — $[0, 1]$.
е) $y = |4\{\frac{1}{4}x\} - 2|$
Преобразуем выражение аналогично предыдущему пункту: $y = |4(\{\frac{1}{4}x\} - \frac{2}{4})| = 4|\{\frac{1}{4}x\} - \frac{1}{2}|$. Эта функция строится по тому же принципу.
Период функции $\{\frac{1}{4}x\}$ равен $T = 1 / (1/4) = 4$. Таким образом, вся функция периодична с периодом 4. На одном периоде $x \in [0, 4)$, где $\{\frac{1}{4}x\} = \frac{1}{4}x$, функция принимает вид $y=|4(\frac{1}{4}x) - 2| = |x-2|$. График на этом отрезке — V-образная линия с вершиной в $(2, 0)$. Он начинается в точке $(0, 2)$, опускается до $(2, 0)$ и поднимается до $(\approx 4, 2)$.
График всей функции — непрерывная «треугольная волна» с периодом 4. Область определения — $D(y) = \mathbb{R}$. Область значений — $E(y) = [0, 2]$.
Ответ: График функции — непрерывная периодическая «треугольная волна» с периодом 4. Область значений — $[0, 2]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.34 расположенного на странице 14 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.34 (с. 14), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.