Номер 1.27, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.27, страница 12.

Условие.

1.27* a) Выясните, чётной или нечётной функцией является сумма, разность, произведение и частное двух нечётных функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

б) Выясните, является ли чётной или нечётной функцией сумма, разность, произведение и частное чётной и нечётной функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

Решение 1.

Решение 4.

а)

Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Их общая область определения $D$ является симметричной относительно нуля. По определению нечётной функции, для любого $x \in D$ выполняются равенства:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.

Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$S(-x) = f(-x) + g(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -S(x)$.

Поскольку $S(-x) = -S(x)$, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.

Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$R(-x) = f(-x) - g(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x) = -(f(x) - g(x)) = -R(x)$.

Поскольку $R(-x) = -R(x)$, разность двух нечётных функций является нечётной функцией.

Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = P(x)$.

Поскольку $P(-x) = P(x)$, произведение двух нечётных функций является чётной функцией.

Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, где $g(x) \neq 0$. Область определения функции $Q(x)$ также симметрична. Найдём значение функции в точке $-x$:

$Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = Q(x)$.

Поскольку $Q(-x) = Q(x)$, частное двух нечётных функций является чётной функцией.

Ответ: Сумма и разность двух нечётных функций являются нечётными функциями; произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями.

б)

Пусть $f(x)$ — чётная функция, а $g(x)$ — нечётная функция. Их общая область определения $D$ является симметричной. По определению, для любого $x \in D$ выполняются равенства:

$f(-x) = f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.

Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$S(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) - g(x)$.

В общем случае $S(-x)$ не равно ни $S(x)$, ни $-S(x) = -f(x) - g(x)$ (кроме тривиальных случаев, когда $f(x)=0$ или $g(x)=0$). Следовательно, сумма чётной и нечётной функций, как правило, является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$R(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$.

Аналогично сумме, в общем случае $R(-x)$ не равно ни $R(x)$, ни $-R(x) = -f(x) + g(x)$. Следовательно, разность чётной и нечётной функций является функцией общего вида.

Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:

$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -P(x)$.

Поскольку $P(-x) = -P(x)$, произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $g(x) \neq 0$) или $Q(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ (где $f(x) \neq 0$).

В первом случае: $Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} = -Q(x)$.

Во втором случае: $Q(-x) = \frac{g(-x)}{f(-x)} = \frac{-g(x)}{f(x)} = -\frac{g(x)}{f(x)} = -Q(x)$.

В обоих случаях частное чётной и нечётной функций является нечётной функцией.

Ответ: Сумма и разность чётной и нечётной функций в общем случае не являются ни чётными, ни нечётными (являются функциями общего вида); произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.