Номер 1.27, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.27, страница 12.
№1.27 (с. 12)
Условие. №1.27 (с. 12)
скриншот условия


1.27* a) Выясните, чётной или нечётной функцией является сумма, разность, произведение и частное двух нечётных функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.
б) Выясните, является ли чётной или нечётной функцией сумма, разность, произведение и частное чётной и нечётной функций на общей части (пересечении) областей определения этих функций.
Решение 1. №1.27 (с. 12)


Решение 4. №1.27 (с. 12)
а)
Пусть даны две нечётные функции $f(x)$ и $g(x)$. Их общая область определения $D$ является симметричной относительно нуля. По определению нечётной функции, для любого $x \in D$ выполняются равенства:
$f(-x) = -f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.
Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$S(-x) = f(-x) + g(-x) = (-f(x)) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -S(x)$.
Поскольку $S(-x) = -S(x)$, сумма двух нечётных функций является нечётной функцией.
Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$R(-x) = f(-x) - g(-x) = (-f(x)) - (-g(x)) = -f(x) + g(x) = -(f(x) - g(x)) = -R(x)$.
Поскольку $R(-x) = -R(x)$, разность двух нечётных функций является нечётной функцией.
Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = f(x) \cdot g(x) = P(x)$.
Поскольку $P(-x) = P(x)$, произведение двух нечётных функций является чётной функцией.
Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, где $g(x) \neq 0$. Область определения функции $Q(x)$ также симметрична. Найдём значение функции в точке $-x$:
$Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = Q(x)$.
Поскольку $Q(-x) = Q(x)$, частное двух нечётных функций является чётной функцией.
Ответ: Сумма и разность двух нечётных функций являются нечётными функциями; произведение и частное двух нечётных функций являются чётными функциями.
б)
Пусть $f(x)$ — чётная функция, а $g(x)$ — нечётная функция. Их общая область определения $D$ является симметричной. По определению, для любого $x \in D$ выполняются равенства:
$f(-x) = f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Проверим чётность или нечётность для суммы, разности, произведения и частного этих функций.
Сумма. Пусть $S(x) = f(x) + g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$S(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) - g(x)$.
В общем случае $S(-x)$ не равно ни $S(x)$, ни $-S(x) = -f(x) - g(x)$ (кроме тривиальных случаев, когда $f(x)=0$ или $g(x)=0$). Следовательно, сумма чётной и нечётной функций, как правило, является функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).
Разность. Пусть $R(x) = f(x) - g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$R(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - (-g(x)) = f(x) + g(x)$.
Аналогично сумме, в общем случае $R(-x)$ не равно ни $R(x)$, ни $-R(x) = -f(x) + g(x)$. Следовательно, разность чётной и нечётной функций является функцией общего вида.
Произведение. Пусть $P(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение функции в точке $-x$:
$P(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -f(x) \cdot g(x) = -P(x)$.
Поскольку $P(-x) = -P(x)$, произведение чётной и нечётной функций является нечётной функцией.
Частное. Пусть $Q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ (где $g(x) \neq 0$) или $Q(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ (где $f(x) \neq 0$).
В первом случае: $Q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{-g(x)} = -\frac{f(x)}{g(x)} = -Q(x)$.
Во втором случае: $Q(-x) = \frac{g(-x)}{f(-x)} = \frac{-g(x)}{f(x)} = -\frac{g(x)}{f(x)} = -Q(x)$.
В обоих случаях частное чётной и нечётной функций является нечётной функцией.
Ответ: Сумма и разность чётной и нечётной функций в общем случае не являются ни чётными, ни нечётными (являются функциями общего вида); произведение и частное чётной и нечётной функций являются нечётными функциями.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.27 расположенного на странице 12 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.27 (с. 12), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.