Номер 1.26, страница 12 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.26, страница 12.

Условие.

1.26 Докажите, что сумма, разность, произведение и частное двух чётных функций есть чётная функция на общей части (пересечении) областей определения этих функций.

Решение 1.

Решение 4.

Пусть даны две чётные функции $f(x)$ и $g(x)$ с областями определения $D(f)$ и $D(g)$ соответственно.

По определению, функция $h(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(h)$ выполняются два условия:
1. Область определения $D(h)$ симметрична относительно нуля (т.е. если $x \in D(h)$, то и $-x \in D(h)$).
2. Выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, их области определения $D(f)$ и $D(g)$ симметричны относительно нуля. Общая часть (пересечение) областей определения — это множество $D = D(f) \cap D(g)$. Докажем, что это множество также симметрично.
Пусть $x \in D$. Это означает, что $x \in D(f)$ и $x \in D(g)$. Так как $D(f)$ и $D(g)$ — симметричные множества, то из $x \in D(f)$ следует $-x \in D(f)$, а из $x \in D(g)$ следует $-x \in D(g)$. Следовательно, $-x$ принадлежит обоим множествам, а значит и их пересечению: $-x \in D(f) \cap D(g)$, то есть $-x \in D$.
Таким образом, общая область определения $D$ для суммы, разности и произведения является симметричной.

Теперь докажем утверждение для каждой из операций.

Сумма

Рассмотрим функцию $s(x) = f(x) + g(x)$. Её область определения — $D$. Мы уже показали, что она симметрична. Проверим второе условие чётности:
$s(-x) = f(-x) + g(-x)$
Так как функции $f(x)$ и $g(x)$ чётные, то $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Подставив это в выражение, получим:
$s(-x) = f(x) + g(x) = s(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $s(x)$ является чётной.
Ответ: Сумма двух чётных функций есть чётная функция.

Разность

Рассмотрим функцию $d(x) = f(x) - g(x)$. Её область определения — $D$, которая симметрична. Проверим второе условие чётности:
$d(-x) = f(-x) - g(-x)$
Используя свойство чётности функций $f(x)$ и $g(x)$, имеем $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Тогда:
$d(-x) = f(x) - g(x) = d(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $d(x)$ является чётной.
Ответ: Разность двух чётных функций есть чётная функция.

Произведение

Рассмотрим функцию $p(x) = f(x) \cdot g(x)$. Её область определения — $D$, которая симметрична. Проверим второе условие чётности:
$p(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Поскольку $f(x)$ и $g(x)$ чётные, $f(-x) = f(x)$ и $g(-x) = g(x)$. Следовательно:
$p(-x) = f(x) \cdot g(x) = p(x)$
Оба условия выполняются, значит, функция $p(x)$ является чётной.
Ответ: Произведение двух чётных функций есть чётная функция.

Частное

Рассмотрим функцию $q(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$. Её область определения $D_q = \{x \in D | g(x) \neq 0\}$.
Сначала докажем, что область определения $D_q$ симметрична. Пусть $x \in D_q$. Это значит, что $x \in D$ и $g(x) \neq 0$. Мы уже знаем, что $D$ — симметричное множество, поэтому $-x \in D$. Так как $g(x)$ — чётная функция, то $g(-x) = g(x)$. Поскольку $g(x) \neq 0$, то и $g(-x) \neq 0$. Таким образом, точка $-x$ также принадлежит области определения $D_q$, и эта область симметрична.
Теперь проверим второе условие чётности для $q(x)$:
$q(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)}$
Используя свойство чётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$q(-x) = \frac{f(x)}{g(x)} = q(x)$
Оба условия выполняются, следовательно, функция $q(x)$ является чётной.
Ответ: Частное двух чётных функций есть чётная функция.