Номер 1.32, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.32, страница 14.

№1.32 (с. 14)
Условие. №1.32 (с. 14)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Условие

Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите её период (1.32–1.35):

1.32 а) $y = \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 x;$

в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x;$

г) $y = 1 + \tan x;$

д) $y = 1 + \cot x;$

е) $y = \sin \sqrt{x};$

ж) $y = \cos \sqrt{-x};$

з) $y = \tan \sqrt{x};$

и) $y = \cot \sqrt{-x}.$

Решение 1. №1.32 (с. 14)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 5) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 6) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 7) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 8) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 14, номер 1.32, Решение 1 (продолжение 9)
Решение 4. №1.32 (с. 14)

а) Функция $y = \sin^2 x$. Для определения периода воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(u)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период $T$ находится из условия $2(x+T) = 2x + 2\pi k$ (где $k$ - целое число), откуда $2T = 2\pi$ (для наименьшего положительного периода $k=1$) и $T = \pi$. Преобразования (умножение на $-\frac{1}{2}$ и сложение с $\frac{1}{2}$) не влияют на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

б) Функция $y = \cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Функция принимает вид $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$. Как и в предыдущем пункте, период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Сложение с константой и умножение на константу не меняют период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

в) Функция $y = \sin^2 x - \cos^2 x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда нашу функцию можно переписать как $y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Умножение на $-1$ не влияет на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

г) Функция $y = 1 + \tg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\tg x$. Основной период функции $\tg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

д) Функция $y = 1 + \ctg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\ctg x$. Основной период функции $\ctg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

е) Функция $y = \sin \sqrt{x}$. Область определения этой функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, \infty)$. Для того чтобы функция была периодической с периодом $T > 0$, её область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на $T$. В частности, если $x$ принадлежит области определения, то и $x-T$ должно принадлежать ей (для всех $x$ из области определения). Однако для любого $x \in [0, T)$, значение $x-T$ будет отрицательным и не войдет в область определения. Например, $x=0$ принадлежит области определения, но $0-T=-T$ не принадлежит. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

ж) Функция $y = \cos \sqrt{-x}$. Область определения этой функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. $D(y) = (-\infty, 0]$. Как и в предыдущем случае, область определения не является инвариантной относительно сдвига на любой период $T > 0$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ не обязательно принадлежит ей. Например, для $x=0$, значение $x+T=T$ не принадлежит области определения $(-\infty, 0]$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

з) Функция $y = \tg \sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое неотрицательное число. То есть $D(y) = [0, \infty) \setminus \{(\frac{\pi}{2} + k\pi)^2\}_{k=0}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $[0, \infty)$ и, следовательно, не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, точка $x=0$ принадлежит области определения, а точка $x-T = -T$ — нет. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

и) Функция $y = \ctg \sqrt{-x}$. Область определения функции задается условиями $-x \ge 0$ (т.е. $x \le 0$) и $\sqrt{-x} \ne k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $\sqrt{-x} \ge 0$, то $k$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \le 0$ и $x \ne -(k\pi)^2$ для $k=0, 1, 2, ...$. Это дает область определения $D(y) = (-\infty, 0) \setminus \{-(k\pi)^2\}_{k=1}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $(-\infty, 0)$ и не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, для $x=-1$, точка $x+T = T-1$ может быть положительной (если $T>1$) и не входить в область определения. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.32 расположенного на странице 14 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.32 (с. 14), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.