Номер 1.32, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.32, страница 14.
№1.32 (с. 14)
Условие. №1.32 (с. 14)
скриншот условия

Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите её период (1.32–1.35):
1.32 а) $y = \sin^2 x;$
б) $y = \cos^2 x;$
в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x;$
г) $y = 1 + \tan x;$
д) $y = 1 + \cot x;$
е) $y = \sin \sqrt{x};$
ж) $y = \cos \sqrt{-x};$
з) $y = \tan \sqrt{x};$
и) $y = \cot \sqrt{-x}.$
Решение 1. №1.32 (с. 14)









Решение 4. №1.32 (с. 14)
а) Функция $y = \sin^2 x$. Для определения периода воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(u)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период $T$ находится из условия $2(x+T) = 2x + 2\pi k$ (где $k$ - целое число), откуда $2T = 2\pi$ (для наименьшего положительного периода $k=1$) и $T = \pi$. Преобразования (умножение на $-\frac{1}{2}$ и сложение с $\frac{1}{2}$) не влияют на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.
б) Функция $y = \cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Функция принимает вид $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$. Как и в предыдущем пункте, период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Сложение с константой и умножение на константу не меняют период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.
в) Функция $y = \sin^2 x - \cos^2 x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда нашу функцию можно переписать как $y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Умножение на $-1$ не влияет на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.
г) Функция $y = 1 + \tg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\tg x$. Основной период функции $\tg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.
д) Функция $y = 1 + \ctg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\ctg x$. Основной период функции $\ctg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.
е) Функция $y = \sin \sqrt{x}$. Область определения этой функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, \infty)$. Для того чтобы функция была периодической с периодом $T > 0$, её область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на $T$. В частности, если $x$ принадлежит области определения, то и $x-T$ должно принадлежать ей (для всех $x$ из области определения). Однако для любого $x \in [0, T)$, значение $x-T$ будет отрицательным и не войдет в область определения. Например, $x=0$ принадлежит области определения, но $0-T=-T$ не принадлежит. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.
ж) Функция $y = \cos \sqrt{-x}$. Область определения этой функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. $D(y) = (-\infty, 0]$. Как и в предыдущем случае, область определения не является инвариантной относительно сдвига на любой период $T > 0$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ не обязательно принадлежит ей. Например, для $x=0$, значение $x+T=T$ не принадлежит области определения $(-\infty, 0]$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.
з) Функция $y = \tg \sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое неотрицательное число. То есть $D(y) = [0, \infty) \setminus \{(\frac{\pi}{2} + k\pi)^2\}_{k=0}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $[0, \infty)$ и, следовательно, не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, точка $x=0$ принадлежит области определения, а точка $x-T = -T$ — нет. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.
и) Функция $y = \ctg \sqrt{-x}$. Область определения функции задается условиями $-x \ge 0$ (т.е. $x \le 0$) и $\sqrt{-x} \ne k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $\sqrt{-x} \ge 0$, то $k$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \le 0$ и $x \ne -(k\pi)^2$ для $k=0, 1, 2, ...$. Это дает область определения $D(y) = (-\infty, 0) \setminus \{-(k\pi)^2\}_{k=1}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $(-\infty, 0)$ и не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, для $x=-1$, точка $x+T = T-1$ может быть положительной (если $T>1$) и не входить в область определения. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.32 расположенного на странице 14 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.32 (с. 14), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.