Номер 1.32, страница 14 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.32, страница 14.

Условие.

Определите, является ли функция периодической. Если да, то укажите её период (1.32–1.35):

1.32 а) $y = \sin^2 x;$

б) $y = \cos^2 x;$

в) $y = \sin^2 x - \cos^2 x;$

г) $y = 1 + \tan x;$

д) $y = 1 + \cot x;$

е) $y = \sin \sqrt{x};$

ж) $y = \cos \sqrt{-x};$

з) $y = \tan \sqrt{x};$

и) $y = \cot \sqrt{-x}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) Функция $y = \sin^2 x$. Для определения периода воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. Таким образом, функция принимает вид $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(u)$ равен $2\pi$. Для функции $\cos(2x)$ период $T$ находится из условия $2(x+T) = 2x + 2\pi k$ (где $k$ - целое число), откуда $2T = 2\pi$ (для наименьшего положительного периода $k=1$) и $T = \pi$. Преобразования (умножение на $-\frac{1}{2}$ и сложение с $\frac{1}{2}$) не влияют на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

б) Функция $y = \cos^2 x$. Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$. Функция принимает вид $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2x)$. Как и в предыдущем пункте, период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Сложение с константой и умножение на константу не меняют период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

в) Функция $y = \sin^2 x - \cos^2 x$. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. Тогда нашу функцию можно переписать как $y = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos(2x)$. Основной период функции $\cos(2x)$ равен $\pi$. Умножение на $-1$ не влияет на период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

г) Функция $y = 1 + \tg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\tg x$. Основной период функции $\tg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

д) Функция $y = 1 + \ctg x$. Эта функция является суммой константы $1$ и функции $\ctg x$. Основной период функции $\ctg x$ равен $\pi$. Добавление константы к функции не изменяет её период. Следовательно, функция является периодической.
Ответ: Да, функция периодическая, её основной период равен $\pi$.

е) Функция $y = \sin \sqrt{x}$. Область определения этой функции задается условием $x \ge 0$, то есть $D(y) = [0, \infty)$. Для того чтобы функция была периодической с периодом $T > 0$, её область определения должна быть инвариантна относительно сдвига на $T$. В частности, если $x$ принадлежит области определения, то и $x-T$ должно принадлежать ей (для всех $x$ из области определения). Однако для любого $x \in [0, T)$, значение $x-T$ будет отрицательным и не войдет в область определения. Например, $x=0$ принадлежит области определения, но $0-T=-T$ не принадлежит. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

ж) Функция $y = \cos \sqrt{-x}$. Область определения этой функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. $D(y) = (-\infty, 0]$. Как и в предыдущем случае, область определения не является инвариантной относительно сдвига на любой период $T > 0$. Если $x$ принадлежит области определения, то $x+T$ не обязательно принадлежит ей. Например, для $x=0$, значение $x+T=T$ не принадлежит области определения $(-\infty, 0]$. Следовательно, данная функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

з) Функция $y = \tg \sqrt{x}$. Область определения функции: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое неотрицательное число. То есть $D(y) = [0, \infty) \setminus \{(\frac{\pi}{2} + k\pi)^2\}_{k=0}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $[0, \infty)$ и, следовательно, не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, точка $x=0$ принадлежит области определения, а точка $x-T = -T$ — нет. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.

и) Функция $y = \ctg \sqrt{-x}$. Область определения функции задается условиями $-x \ge 0$ (т.е. $x \le 0$) и $\sqrt{-x} \ne k\pi$, где $k$ - целое число. Так как $\sqrt{-x} \ge 0$, то $k$ должно быть неотрицательным. Таким образом, $x \le 0$ и $x \ne -(k\pi)^2$ для $k=0, 1, 2, ...$. Это дает область определения $D(y) = (-\infty, 0) \setminus \{-(k\pi)^2\}_{k=1}^\infty$. Область определения функции является подмножеством луча $(-\infty, 0)$ и не является инвариантной относительно сдвига на какой-либо период $T>0$. Например, для $x=-1$, точка $x+T = T-1$ может быть положительной (если $T>1$) и не входить в область определения. Следовательно, функция не является периодической.
Ответ: Нет, функция не является периодической.