Номер 1.18, страница 11 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.18, страница 11.

Условие.

Определите, является ли чётной или нечётной функция (1.18–1.20):

1.18 а) $y = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$; б) $y = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$;

в) $y = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$; г) $y = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$.

Решение 1.

Решение 4.

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x)$ необходимо найти значение функции при аргументе $-x$, то есть $f(-x)$, и сравнить его с исходной функцией $f(x)$. Перед этим важно убедиться, что область определения функции симметрична относительно нуля.

• Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
• Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
• В остальных случаях функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $y = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^4 + 4}{2x^3}$. Область определения функции $D(f)$ определяется условием $2x^3 \neq 0$, что означает $x \neq 0$. Область $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$ симметрична относительно нуля. Теперь найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^4 + 4}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 4}{2(-x^3)} = \frac{x^4 + 4}{-2x^3} = -\frac{x^4 + 4}{2x^3}$

Мы видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

б) $y = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 + 8}$. Знаменатель $x^2 + 8$ всегда больше нуля, так как $x^2 \ge 0$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; \infty)$, что является симметричным множеством. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^3 - 3(-x)}{(-x)^2 + 8} = \frac{-x^3 + 3x}{x^2 + 8} = \frac{-(x^3 - 3x)}{x^2 + 8} = -f(x)$

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $y = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x}$. Область определения задается условием $5x^3 - 3x \neq 0$, или $x(5x^2 - 3) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm\sqrt{\frac{3}{5}}$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем $f(-x)$, учитывая, что косинус — чётная функция, то есть $\cos(-x) = \cos x$.

$f(-x) = \frac{(-x)^4 - \cos(-x)}{5(-x)^3 - 3(-x)} = \frac{x^4 - \cos x}{-5x^3 + 3x} = \frac{x^4 - \cos x}{-(5x^3 - 3x)} = -\frac{x^4 - \cos x}{5x^3 - 3x} = -f(x)$

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $y = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$

Обозначим функцию как $f(x) = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x}$. Область определения задается условием $3x^5 - x \neq 0$, или $x(3x^4 - 1) \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$ и $x \neq \pm\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем $f(-x)$, учитывая, что синус — нечётная функция, то есть $\sin(-x) = -\sin x$.

$f(-x) = \frac{5(-x)^3 + \sin(-x)}{3(-x)^5 - (-x)} = \frac{-5x^3 - \sin x}{-3x^5 + x} = \frac{-(5x^3 + \sin x)}{-(3x^5 - x)} = \frac{5x^3 + \sin x}{3x^5 - x} = f(x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.