Номер 1.11, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.11, страница 7.

Условие.

1.11* Какая из функций в предыдущем задании на области её определения является:

а) ограниченной снизу;

б) ограниченной сверху;

в) ограниченной?

Решение 1.

Решение 4.

Так как условие задачи 1.11* ссылается на "предыдущее задание", которое не приведено, для ответа на вопрос проанализируем набор типовых функций, которые могли быть в этом задании. Будем исследовать каждую функцию на ограниченность на ее естественной области определения.

Рассмотрим следующий набор функций:

• Линейные: $y = 3x - 2$ и $y = 5$ (постоянная функция).
• Квадратичные: $y = x^2 - 4x + 3$ и $y = -x^2 + 2x + 1$.
• Дробно-рациональная: $y = \frac{1}{x}$.
• Иррациональная: $y = \sqrt{x-1}$.
• Тригонометрические: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$.
• Показательные: $y = 2^x$ и $y = (1/2)^x$.
• Логарифмические: $y = \log_3 x$ и $y = \log_{1/3} x$.

Напомним определения. Функция $f(x)$ называется:

• ограниченной снизу на своей области определения $D$, если существует такое число $m$, что для любого $x \in D$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$;
• ограниченной сверху на своей области определения $D$, если существует такое число $M$, что для любого $x \in D$ выполняется неравенство $f(x) \le M$;
• ограниченной, если она ограничена и снизу, и сверху.

а) ограниченной снизу

Следующие функции из нашего списка являются ограниченными снизу:

• $y = x^2 - 4x + 3$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$, $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = -1$. Таким образом, $y(x) \ge -1$ для всех $x$. Функция ограничена снизу.
• $y = \sqrt{x-1}$. По определению арифметического квадратного корня, его значение всегда неотрицательно: $\sqrt{x-1} \ge 0$. Функция ограничена снизу.
• $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Область значений этих функций — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, $\sin x \ge -1$ и $\cos x \ge -1$. Обе функции ограничены снизу.
• $y = 2^x$ и $y = (1/2)^x$. Область значений показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) — это интервал $(0, +\infty)$. Значит, $y(x) > 0$ для всех $x$. Обе функции ограничены снизу (например, числом 0).
• $y = 5$. Это постоянная функция, ее значение всегда равно 5. Следовательно, $y(x) \ge 5$. Функция ограничена снизу.

Функции $y = 3x-2$, $y = -x^2+2x+1$, $y=1/x$, $y=\tan x$, $y=\log_3 x$ и $y=\log_{1/3} x$ не ограничены снизу, так как их множества значений простираются до $-\infty$.

Ответ: ограниченными снизу являются функции $y=x^2 - 4x + 3$, $y=\sqrt{x-1}$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=2^x$, $y=(1/2)^x$, $y=5$.

б) ограниченной сверху

Следующие функции из нашего списка являются ограниченными сверху:

• $y = -x^2 + 2x + 1$. Это парабола с ветвями, направленными вниз. Ее наибольшее значение достигается в вершине. Координаты вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 2$. Таким образом, $y(x) \le 2$ для всех $x$. Функция ограничена сверху.
• $y = \sin x$ и $y = \cos x$. Так как их область значений $[-1, 1]$, то $\sin x \le 1$ и $\cos x \le 1$. Обе функции ограничены сверху.
• $y = 5$. Значение функции всегда равно 5, следовательно $y(x) \le 5$. Функция ограничена сверху.

Функции $y = 3x-2$, $y=x^2-4x+3$, $y=1/x$, $y=\sqrt{x-1}$, $y=\tan x$, $y=2^x$, $y=(1/2)^x$, $y=\log_3 x$ и $y=\log_{1/3} x$ не ограничены сверху, так как их множества значений простираются до $+\infty$.

Ответ: ограниченными сверху являются функции $y=-x^2 + 2x + 1$, $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=5$.

в) ограниченной

Ограниченными являются функции, которые ограничены и снизу, и сверху. Из анализа, проведенного в пунктах а) и б), мы можем заключить, что это:

• $y = \sin x$. Ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
• $y = \cos x$. Ограничена снизу числом -1 и сверху числом 1.
• $y = 5$. Ограничена снизу и сверху числом 5.

Все остальные рассмотренные функции являются либо неограниченными, либо ограниченными только с одной стороны (сверху или снизу).

Ответ: ограниченными являются функции $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=5$.