Номер 1.5, страница 7 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.5, страница 7.

Условие.

1.5° Что такое:

а) область существования функции;

б) область определения функции;

в) область изменения функции?

Решение 1.

Решение 4.

а) область существования функции
Область существования функции — это множество всех тех значений аргумента (независимой переменной), при которых данная функция имеет смысл, то есть ее значение может быть вычислено. В современной математической терминологии этот термин, как правило, является полным синонимом термина «область определения функции», который рассматривается в следующем пункте.

Например, для функции $f(x) = \sqrt{x}$ выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только для неотрицательных чисел. Следовательно, областью существования (и областью определения) этой функции является множество всех $x$ таких, что $x \geq 0$, или в виде интервала $x \in [0, +\infty)$.

Ответ: Область существования функции — это множество всех значений аргумента, при которых функция определена. В большинстве случаев является синонимом области определения.

б) область определения функции
Область определения функции (обозначается $D(f)$ или $D(y)$) — это фундаментальное понятие в анализе, которое обозначает множество всех допустимых значений независимой переменной $x$ (аргумента), для которых функция $y = f(x)$ задана и принимает конкретное действительное значение.

При нахождении области определения для функции, заданной аналитически (формулой), необходимо исключить значения аргумента, которые приводят к математически некорректным операциям. Основные из них:
• Деление на ноль: для функции вида $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ необходимо, чтобы знаменатель был не равен нулю, то есть $h(x) \neq 0$.
• Извлечение корня четной степени из отрицательного числа: для функции вида $f(x) = \sqrt[2n]{g(x)}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $g(x) \geq 0$.
• Вычисление логарифма от неположительного числа: для функции вида $f(x) = \log_a(g(x))$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго положительным, то есть $g(x) > 0$.

Пример: найти область определения функции $y = \frac{\ln(x+3)}{\sqrt{1-x}}$.
Необходимо, чтобы выполнялись два условия одновременно:
1. Аргумент логарифма был положителен: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
2. Выражение под корнем в знаменателе было строго положительным (т.к. корень в знаменателе): $1-x > 0 \implies x < 1$.
Пересечением этих двух условий является интервал $(-3; 1)$. Таким образом, область определения $D(y) = (-3; 1)$.

Ответ: Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых вычисление значения функции $f(x)$ возможно и результат является действительным числом.

в) область изменения функции
Область изменения функции, чаще называемая областью значений функции (обозначается $E(f)$ или $E(y)$), представляет собой множество всех возможных значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (то есть сама функция $f(x)$), когда ее аргумент $x$ пробегает всю свою область определения.

Если представить функцию как «преобразующее устройство», которое на вход получает числа из области определения, то область значений — это все числа, которые могут получиться на выходе этого устройства.

Нахождение области значений часто является более сложной задачей, чем нахождение области определения, и может требовать исследования функции на непрерывность, монотонность, экстремумы и поведение на границах области определения.

Примеры:
• Для функции $y = x^2 + 1$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+1 \ge 1$. Следовательно, область значений $E(y) = [1; +\infty)$.
• Для функции $y = \sin(x) - 2$. Область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Известно, что значения синуса лежат в отрезке $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin(x) \le 1$. Тогда, вычитая 2 из всех частей неравенства, получаем $-1 - 2 \le \sin(x) - 2 \le 1 - 2$, что равносильно $-3 \le y \le -1$. Таким образом, область значений $E(y) = [-3; -1]$.

Ответ: Область изменения (значений) функции — это множество всех значений, которые принимает сама функция $y$ при всех допустимых значениях ее аргумента $x$.