Номер 1.1, страница 4 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.1, страница 4.

Условие.

1.1° a) Сформулируйте определение функции.

б) Какую функцию называют сложной?

в) Перечислите основные элементарные функции.

г) Какие функции называют элементарными?

Решение 1.

Решение 4.

а) Сформулируйте определение функции.

Пусть даны два непустых множества $X$ и $Y$. Функцией (или отображением) $f$ из множества $X$ во множество $Y$ называется правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из множества $X$ ставится в соответствие один и только один элемент $y$ из множества $Y$.

Это записывается как $y = f(x)$.
Элемент $x \in X$ называют независимой переменной или аргументом функции.
Элемент $y \in Y$, соответствующий данному $x$, называют зависимой переменной или значением функции.
Множество $X$ называют областью определения функции и обозначают $D(f)$.
Множество всех значений $y$, которые принимает функция, называют областью значений (или множеством значений) функции и обозначают $E(f)$.

Ответ: Функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (области определения) ставится в соответствие единственный элемент другого множества.

б) Какую функцию называют сложной?

Сложной функцией (или композицией функций) называется функция, аргументом которой является другая функция.

Пусть функция $y$ зависит от переменной $u$, то есть $y = f(u)$, а переменная $u$, в свою очередь, является функцией от переменной $x$, то есть $u = g(x)$. Тогда зависимость $y$ от $x$ является сложной функцией, заданной формулой $y = f(g(x))$. В этой записи функцию $f$ называют внешней, а функцию $g$ — внутренней.

Например, функция $y = \sin(x^2)$ является сложной. Здесь внешняя функция — это $f(u) = \sin u$, а внутренняя — $g(x) = x^2$.

Ответ: Сложной функцией называют функцию вида $y = f(g(x))$, то есть функцию от функции.

в) Перечислите основные элементарные функции.

К основным элементарным функциям относят следующие:

• Степенная функция: $y = x^{\alpha}$, где $\alpha$ — любое действительное число.
• Показательная функция: $y = a^x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Логарифмическая функция: $y = \log_a x$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Тригонометрические функции: $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$.
• Обратные тригонометрические функции: $y = \arcsin x$, $y = \arccos x$, $y = \arctan x$, $y = \operatorname{arccot} x$.
• Постоянная функция (константа): $y=c$.

Ответ: Основные элементарные функции — это степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

г) Какие функции называют элементарными?

Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и операции композиции (взятия функции от функции).

Например, многочлены (вида $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$) и рациональные функции (отношения двух многочленов) являются элементарными. Функция $y = \frac{\ln(x^2+1) - 5\sin x}{e^x + \cos(3x)}$ также является примером элементарной функции, так как она построена из основных элементарных функций с помощью арифметических действий и композиций.

Ответ: Элементарными называют функции, получаемые из основных элементарных функций за конечное число арифметических операций и композиций.